Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13710 / 3211
↖ ↑ ↗
← N 80.853637°
W 29.377442°		 ← 194.19 m → N 80.853637°
W 29.366455°		 →
↑
194.19 m
↓
↑
194.19 m
↓
N 80.851891°
W 29.377442°		 ← 194.22 m →
37 713 m²		 N 80.851891°
W 29.366455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13710 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418411254882812 y=0.0980072021484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418411254882812 × 215)
    floor (0.418411254882812 × 32768)
    floor (13710.5)     		tx = 13710
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0980072021484375 × 215)
    floor (0.0980072021484375 × 32768)
    floor (3211.5)     		ty = 3211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13710 / 3211 ti = "15/13710/3211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13710/3211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13710 ÷ 215
    13710 ÷ 32768     		x = 0.41839599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3211 ÷ 215
    3211 ÷ 32768     		y = 0.097991943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41839599609375 × 2 - 1) × π
    -0.1632080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51273308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.097991943359375 × 2 - 1) × π
    0.80401611328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.52589111478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51273308} λ = -0.51273308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52589111478))-π/2
    2×atan(12.5020310458848)-π/2
    2×1.49097925502876-π/2
    2.98195851005752-1.57079632675     		φ = 1.41116218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51273308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.377442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41116218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.853637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13710 KachelY 3211 -0.51273308 1.41116218 -29.377442 80.853637
    Oben rechts KachelX + 1 13711 KachelY 3211 -0.51254133 1.41116218 -29.366455 80.853637
    Unten links KachelX 13710 KachelY + 1 3212 -0.51273308 1.41113170 -29.377442 80.851891
    Unten rechts KachelX + 1 13711 KachelY + 1 3212 -0.51254133 1.41113170 -29.366455 80.851891
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41116218-1.41113170) × R
    3.04799999999439e-05 × 6371000     		dl = 194.188079999642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41116218-1.41113170) × R
    3.04799999999439e-05 × 6371000     		dr = 194.188079999642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51273308--0.51254133) × cos(1.41116218) × R
    0.000191749999999935 × 0.158957015694258 × 6371000     		do = 194.188129434906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51273308--0.51254133) × cos(1.41113170) × R
    0.000191749999999935 × 0.158987108082589 × 6371000     		du = 194.224891477617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41116218)-sin(1.41113170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158957015694258-0.158987108082589)×R²
    abs(-0.51254133--0.51273308)×3.00923883308768e-05×R²
    0.000191749999999935×3.00923883308768e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.00923883308768e-05×40589641000000     		ar = 37712.5893916652m²