Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13709 / 4149
↖ ↑ ↗
← N 79.061393°
W 29.388428°		 ← 231.81 m → N 79.061393°
W 29.377442°		 →
↑
231.84 m
↓
↑
231.84 m
↓
N 79.059308°
W 29.388428°		 ← 231.86 m →
53 749 m²		 N 79.059308°
W 29.377442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4149 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418380737304688 y=0.126632690429688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418380737304688 × 215)
    floor (0.418380737304688 × 32768)
    floor (13709.5)     		tx = 13709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126632690429688 × 215)
    floor (0.126632690429688 × 32768)
    floor (4149.5)     		ty = 4149
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13709 / 4149 ti = "15/13709/4149"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13709/4149.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13709 ÷ 215
    13709 ÷ 32768     		x = 0.418365478515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4149 ÷ 215
    4149 ÷ 32768     		y = 0.126617431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418365478515625 × 2 - 1) × π
    -0.16326904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51292483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126617431640625 × 2 - 1) × π
    0.74676513671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34603186740555
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51292483} λ = -0.51292483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34603186740555))-π/2
    2×atan(10.444044037936)-π/2
    2×1.47533897512235-π/2
    2.95067795024469-1.57079632675     		φ = 1.37988162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51292483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.388428°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37988162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.061393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13709 KachelY 4149 -0.51292483 1.37988162 -29.388428 79.061393
    Oben rechts KachelX + 1 13710 KachelY 4149 -0.51273308 1.37988162 -29.377442 79.061393
    Unten links KachelX 13709 KachelY + 1 4150 -0.51292483 1.37984523 -29.388428 79.059308
    Unten rechts KachelX + 1 13710 KachelY + 1 4150 -0.51273308 1.37984523 -29.377442 79.059308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37988162-1.37984523) × R
    3.63899999999973e-05 × 6371000     		dl = 231.840689999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37988162-1.37984523) × R
    3.63899999999973e-05 × 6371000     		dr = 231.840689999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51292483--0.51273308) × cos(1.37988162) × R
    0.000191750000000046 × 0.189757061789692 × 6371000     		do = 231.814674647018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51292483--0.51273308) × cos(1.37984523) × R
    0.000191750000000046 × 0.189792790496819 × 6371000     		du = 231.858322237996m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37988162)-sin(1.37984523))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189757061789692-0.189792790496819)×R²
    abs(-0.51273308--0.51292483)×3.57287071268975e-05×R²
    0.000191750000000046×3.57287071268975e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.57287071268975e-05×40589641000000     		ar = 53749.1337718539m²