Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13708 / 3738
↖ ↑ ↗
← N 79.885879°
W 29.399414°		 ← 214.52 m → N 79.885879°
W 29.388428°		 →
↑
214.58 m
↓
↑
214.58 m
↓
N 79.883950°
W 29.399414°		 ← 214.56 m →
46 035 m²		 N 79.883950°
W 29.388428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13708 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418350219726562 y=0.114089965820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418350219726562 × 215)
    floor (0.418350219726562 × 32768)
    floor (13708.5)     		tx = 13708
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114089965820312 × 215)
    floor (0.114089965820312 × 32768)
    floor (3738.5)     		ty = 3738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13708 / 3738 ti = "15/13708/3738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13708/3738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13708 ÷ 215
    13708 ÷ 32768     		x = 0.4183349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3738 ÷ 215
    3738 ÷ 32768     		y = 0.11407470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4183349609375 × 2 - 1) × π
    -0.163330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51311657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11407470703125 × 2 - 1) × π
    0.7718505859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.42484013038092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51311657} λ = -0.51311657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42484013038092))-π/2
    2×atan(11.3004226805927)-π/2
    2×1.48253397317488-π/2
    2.96506794634977-1.57079632675     		φ = 1.39427162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51311657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.399414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39427162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.885879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13708 KachelY 3738 -0.51311657 1.39427162 -29.399414 79.885879
    Oben rechts KachelX + 1 13709 KachelY 3738 -0.51292483 1.39427162 -29.388428 79.885879
    Unten links KachelX 13708 KachelY + 1 3739 -0.51311657 1.39423794 -29.399414 79.883950
    Unten rechts KachelX + 1 13709 KachelY + 1 3739 -0.51292483 1.39423794 -29.388428 79.883950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39427162-1.39423794) × R
    3.36800000000359e-05 × 6371000     		dl = 214.575280000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39427162-1.39423794) × R
    3.36800000000359e-05 × 6371000     		dr = 214.575280000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51311657--0.51292483) × cos(1.39427162) × R
    0.000191739999999996 × 0.17560935387961 × 6371000     		do = 214.520091294531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51311657--0.51292483) × cos(1.39423794) × R
    0.000191739999999996 × 0.175642510390464 × 6371000     		du = 214.560594477182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39427162)-sin(1.39423794))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17560935387961-0.175642510390464)×R²
    abs(-0.51292483--0.51311657)×3.31565108536158e-05×R²
    0.000191739999999996×3.31565108536158e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.31565108536158e-05×40589641000000     		ar = 46035.0541507431m²