Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13707 / 3734
↖ ↑ ↗
← N 79.893594°
W 29.410400°		 ← 214.37 m → N 79.893594°
W 29.399414°		 →
↑
214.38 m
↓
↑
214.38 m
↓
N 79.891666°
W 29.410400°		 ← 214.41 m →
45 962 m²		 N 79.891666°
W 29.399414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3734 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418319702148438 y=0.113967895507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418319702148438 × 215)
    floor (0.418319702148438 × 32768)
    floor (13707.5)     		tx = 13707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113967895507812 × 215)
    floor (0.113967895507812 × 32768)
    floor (3734.5)     		ty = 3734
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13707 / 3734 ti = "15/13707/3734"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13707/3734.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13707 ÷ 215
    13707 ÷ 32768     		x = 0.418304443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3734 ÷ 215
    3734 ÷ 32768     		y = 0.11395263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418304443359375 × 2 - 1) × π
    -0.16339111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51330832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11395263671875 × 2 - 1) × π
    0.7720947265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.42560712077484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51330832} λ = -0.51330832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42560712077484))-π/2
    2×atan(11.3090933209599)-π/2
    2×1.48260129309973-π/2
    2.96520258619947-1.57079632675     		φ = 1.39440626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51330832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.410400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39440626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.893594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13707 KachelY 3734 -0.51330832 1.39440626 -29.410400 79.893594
    Oben rechts KachelX + 1 13708 KachelY 3734 -0.51311657 1.39440626 -29.399414 79.893594
    Unten links KachelX 13707 KachelY + 1 3735 -0.51330832 1.39437261 -29.410400 79.891666
    Unten rechts KachelX + 1 13708 KachelY + 1 3735 -0.51311657 1.39437261 -29.399414 79.891666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39440626-1.39437261) × R
    3.36499999999962e-05 × 6371000     		dl = 214.384149999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39440626-1.39437261) × R
    3.36499999999962e-05 × 6371000     		dr = 214.384149999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51330832--0.51311657) × cos(1.39440626) × R
    0.000191750000000046 × 0.175476804603246 × 6371000     		do = 214.369351967958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51330832--0.51311657) × cos(1.39437261) × R
    0.000191750000000046 × 0.175509932375876 × 6371000     		du = 214.409822155268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39440626)-sin(1.39437261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175476804603246-0.175509932375876)×R²
    abs(-0.51311657--0.51330832)×3.31277726298984e-05×R²
    0.000191750000000046×3.31277726298984e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.31277726298984e-05×40589641000000     		ar = 45961.7293950602m²