Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13707 / 2946
↖ ↑ ↗
← N 81.305000°
W 29.410400°		 ← 184.68 m → N 81.305000°
W 29.399414°		 →
↑
184.70 m
↓
↑
184.70 m
↓
N 81.303339°
W 29.410400°		 ← 184.72 m →
34 113 m²		 N 81.303339°
W 29.399414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418319702148438 y=0.0899200439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418319702148438 × 215)
    floor (0.418319702148438 × 32768)
    floor (13707.5)     		tx = 13707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0899200439453125 × 215)
    floor (0.0899200439453125 × 32768)
    floor (2946.5)     		ty = 2946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13707 / 2946 ti = "15/13707/2946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13707/2946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13707 ÷ 215
    13707 ÷ 32768     		x = 0.418304443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2946 ÷ 215
    2946 ÷ 32768     		y = 0.08990478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418304443359375 × 2 - 1) × π
    -0.16339111328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51330832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08990478515625 × 2 - 1) × π
    0.8201904296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.57670422837726
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51330832} λ = -0.51330832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57670422837726))-π/2
    2×atan(13.1537150019215)-π/2
    2×1.49491813601776-π/2
    2.98983627203552-1.57079632675     		φ = 1.41903995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51330832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.410400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41903995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.305000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13707 KachelY 2946 -0.51330832 1.41903995 -29.410400 81.305000
    Oben rechts KachelX + 1 13708 KachelY 2946 -0.51311657 1.41903995 -29.399414 81.305000
    Unten links KachelX 13707 KachelY + 1 2947 -0.51330832 1.41901096 -29.410400 81.303339
    Unten rechts KachelX + 1 13708 KachelY + 1 2947 -0.51311657 1.41901096 -29.399414 81.303339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41903995-1.41901096) × R
    2.89899999998955e-05 × 6371000     		dl = 184.695289999334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41903995-1.41901096) × R
    2.89899999998955e-05 × 6371000     		dr = 184.695289999334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51330832--0.51311657) × cos(1.41903995) × R
    0.000191750000000046 × 0.151174555659704 × 6371000     		do = 184.680770795248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51330832--0.51311657) × cos(1.41901096) × R
    0.000191750000000046 × 0.151203212416519 × 6371000     		du = 184.715779014152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41903995)-sin(1.41901096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151174555659704-0.151203212416519)×R²
    abs(-0.51311657--0.51330832)×2.86567568154872e-05×R²
    0.000191750000000046×2.86567568154872e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.86567568154872e-05×40589641000000     		ar = 34112.9014483334m²