Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13705 / 4141
↖ ↑ ↗
← N 79.078059°
W 29.432373°		 ← 231.47 m → N 79.078059°
W 29.421387°		 →
↑
231.52 m
↓
↑
231.52 m
↓
N 79.075977°
W 29.432373°		 ← 231.51 m →
53 594 m²		 N 79.075977°
W 29.421387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418258666992188 y=0.126388549804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418258666992188 × 215)
    floor (0.418258666992188 × 32768)
    floor (13705.5)     		tx = 13705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126388549804688 × 215)
    floor (0.126388549804688 × 32768)
    floor (4141.5)     		ty = 4141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13705 / 4141 ti = "15/13705/4141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13705/4141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13705 ÷ 215
    13705 ÷ 32768     		x = 0.418243408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4141 ÷ 215
    4141 ÷ 32768     		y = 0.126373291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418243408203125 × 2 - 1) × π
    -0.16351318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51369182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126373291015625 × 2 - 1) × π
    0.74725341796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.34756584819339
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51369182} λ = -0.51369182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34756584819339))-π/2
    2×atan(10.4600772950478)-π/2
    2×1.47548440741526-π/2
    2.95096881483052-1.57079632675     		φ = 1.38017249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51369182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.432373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38017249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.078059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13705 KachelY 4141 -0.51369182 1.38017249 -29.432373 79.078059
    Oben rechts KachelX + 1 13706 KachelY 4141 -0.51350007 1.38017249 -29.421387 79.078059
    Unten links KachelX 13705 KachelY + 1 4142 -0.51369182 1.38013615 -29.432373 79.075977
    Unten rechts KachelX + 1 13706 KachelY + 1 4142 -0.51350007 1.38013615 -29.421387 79.075977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38017249-1.38013615) × R
    3.63400000000791e-05 × 6371000     		dl = 231.522140000504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38017249-1.38013615) × R
    3.63400000000791e-05 × 6371000     		dr = 231.522140000504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51369182--0.51350007) × cos(1.38017249) × R
    0.000191750000000046 × 0.189471468562047 × 6371000     		do = 231.465782750594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51369182--0.51350007) × cos(1.38013615) × R
    0.000191750000000046 × 0.189507150182418 × 6371000     		du = 231.509372818542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38017249)-sin(1.38013615))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189471468562047-0.189507150182418)×R²
    abs(-0.51350007--0.51369182)×3.56816203706534e-05×R²
    0.000191750000000046×3.56816203706534e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.56816203706534e-05×40589641000000     		ar = 53594.4993979611m²