Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13703 / 4776
↖ ↑ ↗
← N 77.674122°
W 29.454346°		 ← 260.79 m → N 77.674122°
W 29.443359°		 →
↑
260.83 m
↓
↑
260.83 m
↓
N 77.671777°
W 29.454346°		 ← 260.83 m →
68 027 m²		 N 77.671777°
W 29.443359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4776 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418197631835938 y=0.145767211914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418197631835938 × 215)
    floor (0.418197631835938 × 32768)
    floor (13703.5)     		tx = 13703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145767211914062 × 215)
    floor (0.145767211914062 × 32768)
    floor (4776.5)     		ty = 4776
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13703 / 4776 ti = "15/13703/4776"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13703/4776.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13703 ÷ 215
    13703 ÷ 32768     		x = 0.418182373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4776 ÷ 215
    4776 ÷ 32768     		y = 0.145751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418182373046875 × 2 - 1) × π
    -0.16363525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51407531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.145751953125 × 2 - 1) × π
    0.70849609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.22580612315845
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51407531} λ = -0.51407531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22580612315845))-π/2
    2×atan(9.26094525811588)-π/2
    2×1.46323275166081-π/2
    2.92646550332162-1.57079632675     		φ = 1.35566918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51407531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.454346°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35566918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.674122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13703 KachelY 4776 -0.51407531 1.35566918 -29.454346 77.674122
    Oben rechts KachelX + 1 13704 KachelY 4776 -0.51388356 1.35566918 -29.443359 77.674122
    Unten links KachelX 13703 KachelY + 1 4777 -0.51407531 1.35562824 -29.454346 77.671777
    Unten rechts KachelX + 1 13704 KachelY + 1 4777 -0.51388356 1.35562824 -29.443359 77.671777
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35566918-1.35562824) × R
    4.09400000001003e-05 × 6371000     		dl = 260.828740000639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35566918-1.35562824) × R
    4.09400000001003e-05 × 6371000     		dr = 260.828740000639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51407531--0.51388356) × cos(1.35566918) × R
    0.000191749999999935 × 0.213471645993141 × 6371000     		do = 260.785341507237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51407531--0.51388356) × cos(1.35562824) × R
    0.000191749999999935 × 0.21351164211693 × 6371000     		du = 260.834202341907m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35566918)-sin(1.35562824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.213471645993141-0.21351164211693)×R²
    abs(-0.51388356--0.51407531)×3.99961237897706e-05×R²
    0.000191749999999935×3.99961237897706e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.99961237897706e-05×40589641000000     		ar = 68026.6842005981m²