Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13702 / 10662
↖ ↑ ↗
← N 53.080828°
W 29.465332°		 ← 733.82 m → N 53.080828°
W 29.454346°		 →
↑
733.88 m
↓
↑
733.88 m
↓
N 53.074228°
W 29.465332°		 ← 733.94 m →
538 577 m²		 N 53.074228°
W 29.454346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418167114257812 y=0.325393676757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418167114257812 × 215)
    floor (0.418167114257812 × 32768)
    floor (13702.5)     		tx = 13702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325393676757812 × 215)
    floor (0.325393676757812 × 32768)
    floor (10662.5)     		ty = 10662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13702 / 10662 ti = "15/13702/10662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13702/10662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13702 ÷ 215
    13702 ÷ 32768     		x = 0.41815185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10662 ÷ 215
    10662 ÷ 32768     		y = 0.32537841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41815185546875 × 2 - 1) × π
    -0.1636962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51426706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32537841796875 × 2 - 1) × π
    0.3492431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09717975850385
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51426706} λ = -0.51426706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09717975850385))-π/2
    2×atan(2.99570548625186)-π/2
    2×1.24861576705075-π/2
    2.49723153410149-1.57079632675     		φ = 0.92643521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51426706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.465332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92643521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.080828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13702 KachelY 10662 -0.51426706 0.92643521 -29.465332 53.080828
    Oben rechts KachelX + 1 13703 KachelY 10662 -0.51407531 0.92643521 -29.454346 53.080828
    Unten links KachelX 13702 KachelY + 1 10663 -0.51426706 0.92632002 -29.465332 53.074228
    Unten rechts KachelX + 1 13703 KachelY + 1 10663 -0.51407531 0.92632002 -29.454346 53.074228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92643521-0.92632002) × R
    0.000115189999999932 × 6371000     		dl = 733.875489999565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92643521-0.92632002) × R
    0.000115189999999932 × 6371000     		dr = 733.875489999565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51426706--0.51407531) × cos(0.92643521) × R
    0.000191750000000046 × 0.600687784432365 × 6371000     		do = 733.823774458292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51426706--0.51407531) × cos(0.92632002) × R
    0.000191750000000046 × 0.600779872974313 × 6371000     		du = 733.936273435611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92643521)-sin(0.92632002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600687784432365-0.600779872974313)×R²
    abs(-0.51407531--0.51426706)×9.20885419483097e-05×R²
    0.000191750000000046×9.20885419483097e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.20885419483097e-05×40589641000000     		ar = 538576.562770421m²