Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13700 / 3742
↖ ↑ ↗
← N 79.878159°
W 29.487304°		 ← 214.68 m → N 79.878159°
W 29.476319°		 →
↑
214.70 m
↓
↑
214.70 m
↓
N 79.876228°
W 29.487304°		 ← 214.72 m →
46 097 m²		 N 79.876228°
W 29.476319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418106079101562 y=0.114212036132812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418106079101562 × 215)
    floor (0.418106079101562 × 32768)
    floor (13700.5)     		tx = 13700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114212036132812 × 215)
    floor (0.114212036132812 × 32768)
    floor (3742.5)     		ty = 3742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13700 / 3742 ti = "15/13700/3742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13700/3742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13700 ÷ 215
    13700 ÷ 32768     		x = 0.4180908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3742 ÷ 215
    3742 ÷ 32768     		y = 0.11419677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4180908203125 × 2 - 1) × π
    -0.163818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51465055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11419677734375 × 2 - 1) × π
    0.7716064453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.424073139987
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51465055} λ = -0.51465055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.424073139987))-π/2
    2×atan(11.2917586879738)-π/2
    2×1.4824666023995-π/2
    2.96493320479899-1.57079632675     		φ = 1.39413688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51465055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.487304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39413688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.878159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13700 KachelY 3742 -0.51465055 1.39413688 -29.487304 79.878159
    Oben rechts KachelX + 1 13701 KachelY 3742 -0.51445881 1.39413688 -29.476319 79.878159
    Unten links KachelX 13700 KachelY + 1 3743 -0.51465055 1.39410318 -29.487304 79.876228
    Unten rechts KachelX + 1 13701 KachelY + 1 3743 -0.51445881 1.39410318 -29.476319 79.876228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39413688-1.39410318) × R
    3.36999999999144e-05 × 6371000     		dl = 214.702699999454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39413688-1.39410318) × R
    3.36999999999144e-05 × 6371000     		dr = 214.702699999454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51465055--0.51445881) × cos(1.39413688) × R
    0.000191739999999996 × 0.175741998416167 × 6371000     		do = 214.682126615903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51465055--0.51445881) × cos(1.39410318) × R
    0.000191739999999996 × 0.175775173818328 × 6371000     		du = 214.722652875713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39413688)-sin(1.39410318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175741998416167-0.175775173818328)×R²
    abs(-0.51445881--0.51465055)×3.31754021612451e-05×R²
    0.000191739999999996×3.31754021612451e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.31754021612451e-05×40589641000000     		ar = 46097.1827787832m²