Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13700 / 3716
↖ ↑ ↗
← N 79.928236°
W 29.487304°		 ← 213.63 m → N 79.928236°
W 29.476319°		 →
↑
213.62 m
↓
↑
213.62 m
↓
N 79.926315°
W 29.487304°		 ← 213.67 m →
45 640 m²		 N 79.926315°
W 29.476319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418106079101562 y=0.113418579101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418106079101562 × 215)
    floor (0.418106079101562 × 32768)
    floor (13700.5)     		tx = 13700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113418579101562 × 215)
    floor (0.113418579101562 × 32768)
    floor (3716.5)     		ty = 3716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13700 / 3716 ti = "15/13700/3716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13700/3716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13700 ÷ 215
    13700 ÷ 32768     		x = 0.4180908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3716 ÷ 215
    3716 ÷ 32768     		y = 0.1134033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4180908203125 × 2 - 1) × π
    -0.163818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51465055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1134033203125 × 2 - 1) × π
    0.773193359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.42905857754749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51465055} λ = -0.51465055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42905857754749))-π/2
    2×atan(11.3481936053503)-π/2
    2×1.48290360448196-π/2
    2.96580720896392-1.57079632675     		φ = 1.39501088
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51465055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.487304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39501088 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.928236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13700 KachelY 3716 -0.51465055 1.39501088 -29.487304 79.928236
    Oben rechts KachelX + 1 13701 KachelY 3716 -0.51445881 1.39501088 -29.476319 79.928236
    Unten links KachelX 13700 KachelY + 1 3717 -0.51465055 1.39497735 -29.487304 79.926315
    Unten rechts KachelX + 1 13701 KachelY + 1 3717 -0.51445881 1.39497735 -29.476319 79.926315
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39501088-1.39497735) × R
    3.35300000000593e-05 × 6371000     		dl = 213.619630000378m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39501088-1.39497735) × R
    3.35300000000593e-05 × 6371000     		dr = 213.619630000378m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51465055--0.51445881) × cos(1.39501088) × R
    0.000191739999999996 × 0.174881534111928 × 6371000     		do = 213.631004468802m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51465055--0.51445881) × cos(1.39497735) × R
    0.000191739999999996 × 0.174914547298963 × 6371000     		du = 213.671332570582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39501088)-sin(1.39497735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174881534111928-0.174914547298963)×R²
    abs(-0.51445881--0.51465055)×3.30131870354688e-05×R²
    0.000191739999999996×3.30131870354688e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.30131870354688e-05×40589641000000     		ar = 45640.0835728829m²