Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13700 / 2935
↖ ↑ ↗
← N 81.323250°
W 29.487304°		 ← 184.29 m → N 81.323250°
W 29.476319°		 →
↑
184.31 m
↓
↑
184.31 m
↓
N 81.321592°
W 29.487304°		 ← 184.32 m →
33 970 m²		 N 81.321592°
W 29.476319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418106079101562 y=0.0895843505859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418106079101562 × 215)
    floor (0.418106079101562 × 32768)
    floor (13700.5)     		tx = 13700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0895843505859375 × 215)
    floor (0.0895843505859375 × 32768)
    floor (2935.5)     		ty = 2935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13700 / 2935 ti = "15/13700/2935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13700/2935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13700 ÷ 215
    13700 ÷ 32768     		x = 0.4180908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2935 ÷ 215
    2935 ÷ 32768     		y = 0.089569091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4180908203125 × 2 - 1) × π
    -0.163818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51465055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.089569091796875 × 2 - 1) × π
    0.82086181640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.57881345196054
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51465055} λ = -0.51465055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57881345196054))-π/2
    2×atan(13.1814884076759)-π/2
    2×1.4950774003996-π/2
    2.99015480079921-1.57079632675     		φ = 1.41935847
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51465055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.487304°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41935847 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.323250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13700 KachelY 2935 -0.51465055 1.41935847 -29.487304 81.323250
    Oben rechts KachelX + 1 13701 KachelY 2935 -0.51445881 1.41935847 -29.476319 81.323250
    Unten links KachelX 13700 KachelY + 1 2936 -0.51465055 1.41932954 -29.487304 81.321592
    Unten rechts KachelX + 1 13701 KachelY + 1 2936 -0.51445881 1.41932954 -29.476319 81.321592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41935847-1.41932954) × R
    2.89300000000381e-05 × 6371000     		dl = 184.313030000243m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41935847-1.41932954) × R
    2.89300000000381e-05 × 6371000     		dr = 184.313030000243m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51465055--0.51445881) × cos(1.41935847) × R
    0.000191739999999996 × 0.150859688720151 × 6371000     		do = 184.286505712546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51465055--0.51445881) × cos(1.41932954) × R
    0.000191739999999996 × 0.150888287558526 × 6371000     		du = 184.321441353978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41935847)-sin(1.41932954))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150859688720151-0.150888287558526)×R²
    abs(-0.51445881--0.51465055)×2.85988383752211e-05×R²
    0.000191739999999996×2.85988383752211e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.85988383752211e-05×40589641000000     		ar = 33969.6238053936m²