Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13698 / 3715
↖ ↑ ↗
← N 79.930157°
W 29.509277°		 ← 213.60 m → N 79.930157°
W 29.498291°		 →
↑
213.62 m
↓
↑
213.62 m
↓
N 79.928236°
W 29.509277°		 ← 213.64 m →
45 634 m²		 N 79.928236°
W 29.498291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418045043945312 y=0.113388061523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418045043945312 × 215)
    floor (0.418045043945312 × 32768)
    floor (13698.5)     		tx = 13698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113388061523438 × 215)
    floor (0.113388061523438 × 32768)
    floor (3715.5)     		ty = 3715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13698 / 3715 ti = "15/13698/3715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13698/3715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13698 ÷ 215
    13698 ÷ 32768     		x = 0.41802978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3715 ÷ 215
    3715 ÷ 32768     		y = 0.113372802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41802978515625 × 2 - 1) × π
    -0.1639404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51503405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113372802734375 × 2 - 1) × π
    0.77325439453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.42925032514597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51503405} λ = -0.51503405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42925032514597))-π/2
    2×atan(11.3503698028549)-π/2
    2×1.48292036945624-π/2
    2.96584073891248-1.57079632675     		φ = 1.39504441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51503405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.509277°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39504441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.930157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13698 KachelY 3715 -0.51503405 1.39504441 -29.509277 79.930157
    Oben rechts KachelX + 1 13699 KachelY 3715 -0.51484230 1.39504441 -29.498291 79.930157
    Unten links KachelX 13698 KachelY + 1 3716 -0.51503405 1.39501088 -29.509277 79.928236
    Unten rechts KachelX + 1 13699 KachelY + 1 3716 -0.51484230 1.39501088 -29.498291 79.928236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39504441-1.39501088) × R
    3.35299999998373e-05 × 6371000     		dl = 213.619629998963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39504441-1.39501088) × R
    3.35299999998373e-05 × 6371000     		dr = 213.619629998963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51503405--0.51484230) × cos(1.39504441) × R
    0.000191750000000046 × 0.17484852072828 × 6371000     		do = 213.601815726157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51503405--0.51484230) × cos(1.39501088) × R
    0.000191750000000046 × 0.174881534111928 × 6371000     		du = 213.642146171396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39504441)-sin(1.39501088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17484852072828-0.174881534111928)×R²
    abs(-0.51484230--0.51503405)×3.30133836477231e-05×R²
    0.000191750000000046×3.30133836477231e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.30133836477231e-05×40589641000000     		ar = 45633.8485341164m²