Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13697 / 3745
↖ ↑ ↗
← N 79.872366°
W 29.520264°		 ← 214.81 m → N 79.872366°
W 29.509277°		 →
↑
214.89 m
↓
↑
214.89 m
↓
N 79.870433°
W 29.520264°		 ← 214.86 m →
46 167 m²		 N 79.870433°
W 29.509277°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418014526367188 y=0.114303588867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418014526367188 × 215)
    floor (0.418014526367188 × 32768)
    floor (13697.5)     		tx = 13697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114303588867188 × 215)
    floor (0.114303588867188 × 32768)
    floor (3745.5)     		ty = 3745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13697 / 3745 ti = "15/13697/3745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13697/3745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13697 ÷ 215
    13697 ÷ 32768     		x = 0.417999267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3745 ÷ 215
    3745 ÷ 32768     		y = 0.114288330078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417999267578125 × 2 - 1) × π
    -0.16400146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51522580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114288330078125 × 2 - 1) × π
    0.77142333984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.42349789719156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51522580} λ = -0.51522580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42349789719156))-π/2
    2×atan(11.2852650530281)-π/2
    2×1.48241604092492-π/2
    2.96483208184984-1.57079632675     		φ = 1.39403576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51522580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.520264°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39403576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.872366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13697 KachelY 3745 -0.51522580 1.39403576 -29.520264 79.872366
    Oben rechts KachelX + 1 13698 KachelY 3745 -0.51503405 1.39403576 -29.509277 79.872366
    Unten links KachelX 13697 KachelY + 1 3746 -0.51522580 1.39400203 -29.520264 79.870433
    Unten rechts KachelX + 1 13698 KachelY + 1 3746 -0.51503405 1.39400203 -29.509277 79.870433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39403576-1.39400203) × R
    3.37299999999541e-05 × 6371000     		dl = 214.893829999707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39403576-1.39400203) × R
    3.37299999999541e-05 × 6371000     		dr = 214.893829999707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51522580--0.51503405) × cos(1.39403576) × R
    0.000191749999999935 × 0.175841543712105 × 6371000     		do = 214.814931579225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51522580--0.51503405) × cos(1.39400203) × R
    0.000191749999999935 × 0.175874748047533 × 6371000     		du = 214.855495298654m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39403576)-sin(1.39400203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175841543712105-0.175874748047533)×R²
    abs(-0.51503405--0.51522580)×3.32043354280553e-05×R²
    0.000191749999999935×3.32043354280553e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.32043354280553e-05×40589641000000     		ar = 46166.7618391136m²