Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13696 / 3401
↖ ↑ ↗
← N 80.515793°
W 29.531250°		 ← 201.29 m → N 80.515793°
W 29.520264°		 →
↑
201.32 m
↓
↑
201.32 m
↓
N 80.513982°
W 29.531250°		 ← 201.32 m →
40 527 m²		 N 80.513982°
W 29.520264°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417984008789062 y=0.103805541992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417984008789062 × 215)
    floor (0.417984008789062 × 32768)
    floor (13696.5)     		tx = 13696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103805541992188 × 215)
    floor (0.103805541992188 × 32768)
    floor (3401.5)     		ty = 3401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13696 / 3401 ti = "15/13696/3401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13696/3401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13696 ÷ 215
    13696 ÷ 32768     		x = 0.41796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3401 ÷ 215
    3401 ÷ 32768     		y = 0.103790283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41796875 × 2 - 1) × π
    -0.1640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51541754
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103790283203125 × 2 - 1) × π
    0.79241943359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.48945907106876
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51541754} λ = -0.51541754}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48945907106876))-π/2
    2×atan(12.0547535915148)-π/2
    2×1.48803100250262-π/2
    2.97606200500524-1.57079632675     		φ = 1.40526568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51541754} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.531250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40526568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.515793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13696 KachelY 3401 -0.51541754 1.40526568 -29.531250 80.515793
    Oben rechts KachelX + 1 13697 KachelY 3401 -0.51522580 1.40526568 -29.520264 80.515793
    Unten links KachelX 13696 KachelY + 1 3402 -0.51541754 1.40523408 -29.531250 80.513982
    Unten rechts KachelX + 1 13697 KachelY + 1 3402 -0.51522580 1.40523408 -29.520264 80.513982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40526568-1.40523408) × R
    3.16000000000205e-05 × 6371000     		dl = 201.323600000131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40526568-1.40523408) × R
    3.16000000000205e-05 × 6371000     		dr = 201.323600000131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51541754--0.51522580) × cos(1.40526568) × R
    0.000191739999999996 × 0.164775747579027 × 6371000     		do = 201.28602282775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51541754--0.51522580) × cos(1.40523408) × R
    0.000191739999999996 × 0.164806915558138 × 6371000     		du = 201.324096868663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40526568)-sin(1.40523408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164775747579027-0.164806915558138)×R²
    abs(-0.51522580--0.51541754)×3.11679791109021e-05×R²
    0.000191739999999996×3.11679791109021e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.11679791109021e-05×40589641000000     		ar = 40527.459350315m²