Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13695 / 3400
↖ ↑ ↗
← N 80.517603°
W 29.542236°		 ← 201.26 m → N 80.517603°
W 29.531250°		 →
↑
201.26 m
↓
↑
201.26 m
↓
N 80.515793°
W 29.542236°		 ← 201.30 m →
40 509 m²		 N 80.515793°
W 29.531250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417953491210938 y=0.103775024414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417953491210938 × 215)
    floor (0.417953491210938 × 32768)
    floor (13695.5)     		tx = 13695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103775024414062 × 215)
    floor (0.103775024414062 × 32768)
    floor (3400.5)     		ty = 3400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13695 / 3400 ti = "15/13695/3400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13695/3400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13695 ÷ 215
    13695 ÷ 32768     		x = 0.417938232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3400 ÷ 215
    3400 ÷ 32768     		y = 0.103759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417938232421875 × 2 - 1) × π
    -0.16412353515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51560929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103759765625 × 2 - 1) × π
    0.79248046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.48965081866724
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51560929} λ = -0.51560929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48965081866724))-π/2
    2×atan(12.0570652831898)-π/2
    2×1.48804679868595-π/2
    2.97609359737189-1.57079632675     		φ = 1.40529727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51560929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.542236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40529727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.517603°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13695 KachelY 3400 -0.51560929 1.40529727 -29.542236 80.517603
    Oben rechts KachelX + 1 13696 KachelY 3400 -0.51541754 1.40529727 -29.531250 80.517603
    Unten links KachelX 13695 KachelY + 1 3401 -0.51560929 1.40526568 -29.542236 80.515793
    Unten rechts KachelX + 1 13696 KachelY + 1 3401 -0.51541754 1.40526568 -29.531250 80.515793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40529727-1.40526568) × R
    3.15899999998592e-05 × 6371000     		dl = 201.259889999103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40529727-1.40526568) × R
    3.15899999998592e-05 × 6371000     		dr = 201.259889999103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51560929--0.51541754) × cos(1.40529727) × R
    0.000191750000000046 × 0.164744589298741 × 6371000     		do = 201.25845651252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51560929--0.51541754) × cos(1.40526568) × R
    0.000191750000000046 × 0.164775747579027 × 6371000     		du = 201.296520690681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40529727)-sin(1.40526568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164744589298741-0.164775747579027)×R²
    abs(-0.51541754--0.51560929)×3.11582802865751e-05×R²
    0.000191750000000046×3.11582802865751e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.11582802865751e-05×40589641000000     		ar = 40509.0852191104m²