Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13694 / 3195
↖ ↑ ↗
← N 80.881537°
W 29.553223°		 ← 193.60 m → N 80.881537°
W 29.542236°		 →
↑
193.61 m
↓
↑
193.61 m
↓
N 80.879796°
W 29.553223°		 ← 193.64 m →
37 488 m²		 N 80.879796°
W 29.542236°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3195 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417922973632812 y=0.0975189208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417922973632812 × 215)
    floor (0.417922973632812 × 32768)
    floor (13694.5)     		tx = 13694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0975189208984375 × 215)
    floor (0.0975189208984375 × 32768)
    floor (3195.5)     		ty = 3195
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13694 / 3195 ti = "15/13694/3195"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13694/3195.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13694 ÷ 215
    13694 ÷ 32768     		x = 0.41790771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3195 ÷ 215
    3195 ÷ 32768     		y = 0.097503662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41790771484375 × 2 - 1) × π
    -0.1641845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51580104
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.097503662109375 × 2 - 1) × π
    0.80499267578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.52895907635568
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51580104} λ = -0.51580104}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.52895907635568))-π/2
    2×atan(12.5404456939526)-π/2
    2×1.49122272310939-π/2
    2.98244544621879-1.57079632675     		φ = 1.41164912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51580104} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.553223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41164912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.881537°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13694 KachelY 3195 -0.51580104 1.41164912 -29.553223 80.881537
    Oben rechts KachelX + 1 13695 KachelY 3195 -0.51560929 1.41164912 -29.542236 80.881537
    Unten links KachelX 13694 KachelY + 1 3196 -0.51580104 1.41161873 -29.553223 80.879796
    Unten rechts KachelX + 1 13695 KachelY + 1 3196 -0.51560929 1.41161873 -29.542236 80.879796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41164912-1.41161873) × R
    3.03900000000468e-05 × 6371000     		dl = 193.614690000298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41164912-1.41161873) × R
    3.03900000000468e-05 × 6371000     		dr = 193.614690000298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51580104--0.51560929) × cos(1.41164912) × R
    0.000191750000000046 × 0.158476248064559 × 6371000     		do = 193.600804828449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51580104--0.51560929) × cos(1.41161873) × R
    0.000191750000000046 × 0.158506253946558 × 6371000     		du = 193.637461191629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41164912)-sin(1.41161873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158476248064559-0.158506253946558)×R²
    abs(-0.51560929--0.51580104)×3.00058819987237e-05×R²
    0.000191750000000046×3.00058819987237e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.00058819987237e-05×40589641000000     		ar = 37487.5084187421m²