Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13693 / 4712
↖ ↑ ↗
← N 77.823323°
W 29.564209°		 ← 257.68 m → N 77.823323°
W 29.553223°		 →
↑
257.64 m
↓
↑
257.64 m
↓
N 77.821006°
W 29.564209°		 ← 257.72 m →
66 395 m²		 N 77.821006°
W 29.553223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417892456054688 y=0.143814086914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417892456054688 × 215)
    floor (0.417892456054688 × 32768)
    floor (13693.5)     		tx = 13693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143814086914062 × 215)
    floor (0.143814086914062 × 32768)
    floor (4712.5)     		ty = 4712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13693 / 4712 ti = "15/13693/4712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13693/4712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13693 ÷ 215
    13693 ÷ 32768     		x = 0.417877197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4712 ÷ 215
    4712 ÷ 32768     		y = 0.143798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417877197265625 × 2 - 1) × π
    -0.16424560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51599279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143798828125 × 2 - 1) × π
    0.71240234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23807796946118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51599279} λ = -0.51599279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23807796946118))-π/2
    2×atan(9.37529435716516)-π/2
    2×1.46453477525445-π/2
    2.9290695505089-1.57079632675     		φ = 1.35827322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51599279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.564209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35827322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.823323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13693 KachelY 4712 -0.51599279 1.35827322 -29.564209 77.823323
    Oben rechts KachelX + 1 13694 KachelY 4712 -0.51580104 1.35827322 -29.553223 77.823323
    Unten links KachelX 13693 KachelY + 1 4713 -0.51599279 1.35823278 -29.564209 77.821006
    Unten rechts KachelX + 1 13694 KachelY + 1 4713 -0.51580104 1.35823278 -29.553223 77.821006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35827322-1.35823278) × R
    4.04400000000305e-05 × 6371000     		dl = 257.643240000194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35827322-1.35823278) × R
    4.04400000000305e-05 × 6371000     		dr = 257.643240000194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51599279--0.51580104) × cos(1.35827322) × R
    0.000191749999999935 × 0.210926910139841 × 6371000     		do = 257.676592307965m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51599279--0.51580104) × cos(1.35823278) × R
    0.000191749999999935 × 0.210966440141587 × 6371000     		du = 257.724883709651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35827322)-sin(1.35823278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210926910139841-0.210966440141587)×R²
    abs(-0.51580104--0.51599279)×3.95300017461964e-05×R²
    0.000191749999999935×3.95300017461964e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.95300017461964e-05×40589641000000     		ar = 66394.8531003534m²