Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13693 / 3406
N 80.506737°
W 29.564209°
← 201.49 m → N 80.506737°
W 29.553223°

201.51 m

201.51 m
N 80.504925°
W 29.564209°
← 201.53 m →
40 606 m²
N 80.504925°
W 29.553223°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3406 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417892456054688 y=0.103958129882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417892456054688 × 215)
    floor (0.417892456054688 × 32768)
    floor (13693.5)
    tx = 13693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103958129882812 × 215)
    floor (0.103958129882812 × 32768)
    floor (3406.5)
    ty = 3406
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13693 / 3406 ti = "15/13693/3406"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13693/3406.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13693 ÷ 215
    13693 ÷ 32768
    x = 0.417877197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3406 ÷ 215
    3406 ÷ 32768
    y = 0.10394287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.417877197265625 × 2 - 1) × π
    -0.16424560546875 × 3.1415926535
    Λ = -0.51599279
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.10394287109375 × 2 - 1) × π
    0.7921142578125 × 3.1415926535
    Φ = 2.48850033307636
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51599279} λ = -0.51599279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48850033307636))-π/2
    2×atan(12.0432017797228)-π/2
    2×1.4879519767586-π/2
    2.9759039535172-1.57079632675
    φ = 1.40510763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51599279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.564209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40510763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.506737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13693 KachelY 3406 -0.51599279 1.40510763 -29.564209 80.506737
    Oben rechts KachelX + 1 13694 KachelY 3406 -0.51580104 1.40510763 -29.553223 80.506737
    Unten links KachelX 13693 KachelY + 1 3407 -0.51599279 1.40507600 -29.564209 80.504925
    Unten rechts KachelX + 1 13694 KachelY + 1 3407 -0.51580104 1.40507600 -29.553223 80.504925
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.40510763-1.40507600) × R
    3.16300000000602e-05 × 6371000
    dl = 201.514730000384m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.40510763-1.40507600) × R
    3.16300000000602e-05 × 6371000
    dr = 201.514730000384m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51599279--0.51580104) × cos(1.40510763) × R
    0.000191749999999935 × 0.164931635143825 × 6371000
    do = 201.486959058308m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51599279--0.51580104) × cos(1.40507600) × R
    0.000191749999999935 × 0.16496283188851 × 6371000
    du = 201.525070226087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.40510763)-sin(1.40507600))×
    abs(λ12)×abs(0.164931635143825-0.16496283188851)×
    abs(-0.51580104--0.51599279)×3.11967446847139e-05×
    0.000191749999999935×3.11967446847139e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.11967446847139e-05×40589641000000
    ar = 40606.4301374602m²