Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13692 / 3741
↖ ↑ ↗
← N 79.880090°
W 29.575196°		 ← 214.65 m → N 79.880090°
W 29.564209°		 →
↑
214.64 m
↓
↑
214.64 m
↓
N 79.878159°
W 29.575196°		 ← 214.69 m →
46 077 m²		 N 79.878159°
W 29.564209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417861938476562 y=0.114181518554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417861938476562 × 215)
    floor (0.417861938476562 × 32768)
    floor (13692.5)     		tx = 13692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114181518554688 × 215)
    floor (0.114181518554688 × 32768)
    floor (3741.5)     		ty = 3741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13692 / 3741 ti = "15/13692/3741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13692/3741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13692 ÷ 215
    13692 ÷ 32768     		x = 0.4178466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3741 ÷ 215
    3741 ÷ 32768     		y = 0.114166259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4178466796875 × 2 - 1) × π
    -0.164306640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51618454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114166259765625 × 2 - 1) × π
    0.77166748046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.42426488758548
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51618454} λ = -0.51618454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42426488758548))-π/2
    2×atan(11.2939240631809)-π/2
    2×1.48248344986262-π/2
    2.96496689972523-1.57079632675     		φ = 1.39417057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51618454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.575196°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39417057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.880090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13692 KachelY 3741 -0.51618454 1.39417057 -29.575196 79.880090
    Oben rechts KachelX + 1 13693 KachelY 3741 -0.51599279 1.39417057 -29.564209 79.880090
    Unten links KachelX 13692 KachelY + 1 3742 -0.51618454 1.39413688 -29.575196 79.878159
    Unten rechts KachelX + 1 13693 KachelY + 1 3742 -0.51599279 1.39413688 -29.564209 79.878159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39417057-1.39413688) × R
    3.36899999999751e-05 × 6371000     		dl = 214.638989999842m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39417057-1.39413688) × R
    3.36899999999751e-05 × 6371000     		dr = 214.638989999842m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51618454--0.51599279) × cos(1.39417057) × R
    0.000191750000000046 × 0.175708832658839 × 6371000     		do = 214.652806547771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51618454--0.51599279) × cos(1.39413688) × R
    0.000191750000000046 × 0.175741998416167 × 6371000     		du = 214.693323138679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39417057)-sin(1.39413688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175708832658839-0.175741998416167)×R²
    abs(-0.51599279--0.51618454)×3.31657573279243e-05×R²
    0.000191750000000046×3.31657573279243e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.31657573279243e-05×40589641000000     		ar = 46077.209822779m²