Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13689 / 4715
↖ ↑ ↗
← N 77.816370°
W 29.608154°		 ← 257.82 m → N 77.816370°
W 29.597168°		 →
↑
257.90 m
↓
↑
257.90 m
↓
N 77.814050°
W 29.608154°		 ← 257.87 m →
66 498 m²		 N 77.814050°
W 29.597168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4715 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417770385742188 y=0.143905639648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417770385742188 × 215)
    floor (0.417770385742188 × 32768)
    floor (13689.5)     		tx = 13689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143905639648438 × 215)
    floor (0.143905639648438 × 32768)
    floor (4715.5)     		ty = 4715
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13689 / 4715 ti = "15/13689/4715"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13689/4715.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13689 ÷ 215
    13689 ÷ 32768     		x = 0.417755126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4715 ÷ 215
    4715 ÷ 32768     		y = 0.143890380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417755126953125 × 2 - 1) × π
    -0.16448974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51675978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143890380859375 × 2 - 1) × π
    0.71221923828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23750272666574
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51675978} λ = -0.51675978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23750272666574))-π/2
    2×atan(9.36990283749616)-π/2
    2×1.46447409110315-π/2
    2.92894818220631-1.57079632675     		φ = 1.35815186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51675978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.608154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35815186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.816370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13689 KachelY 4715 -0.51675978 1.35815186 -29.608154 77.816370
    Oben rechts KachelX + 1 13690 KachelY 4715 -0.51656803 1.35815186 -29.597168 77.816370
    Unten links KachelX 13689 KachelY + 1 4716 -0.51675978 1.35811138 -29.608154 77.814050
    Unten rechts KachelX + 1 13690 KachelY + 1 4716 -0.51656803 1.35811138 -29.597168 77.814050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35815186-1.35811138) × R
    4.04800000000094e-05 × 6371000     		dl = 257.89808000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35815186-1.35811138) × R
    4.04800000000094e-05 × 6371000     		dr = 257.89808000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51675978--0.51656803) × cos(1.35815186) × R
    0.000191750000000046 × 0.211045538209025 × 6371000     		do = 257.821513013581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51675978--0.51656803) × cos(1.35811138) × R
    0.000191750000000046 × 0.211085106273904 × 6371000     		du = 257.869850914684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35815186)-sin(1.35811138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211045538209025-0.211085106273904)×R²
    abs(-0.51656803--0.51675978)×3.95680648789254e-05×R²
    0.000191750000000046×3.95680648789254e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.95680648789254e-05×40589641000000     		ar = 66497.9063242306m²