Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13688 / 10779
↖ ↑ ↗
← N 52.301761°
W 29.619141°		 ← 747.04 m → N 52.301761°
W 29.608154°		 →
↑
747.06 m
↓
↑
747.06 m
↓
N 52.295042°
W 29.619141°		 ← 747.15 m →
558 125 m²		 N 52.295042°
W 29.608154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417739868164062 y=0.328964233398438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417739868164062 × 215)
    floor (0.417739868164062 × 32768)
    floor (13688.5)     		tx = 13688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328964233398438 × 215)
    floor (0.328964233398438 × 32768)
    floor (10779.5)     		ty = 10779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13688 / 10779 ti = "15/13688/10779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13688/10779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13688 ÷ 215
    13688 ÷ 32768     		x = 0.417724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10779 ÷ 215
    10779 ÷ 32768     		y = 0.328948974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417724609375 × 2 - 1) × π
    -0.16455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51695153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328948974609375 × 2 - 1) × π
    0.34210205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.07474528948166
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51695153} λ = -0.51695153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07474528948166))-π/2
    2×atan(2.92924669556043)-π/2
    2×1.24181713009218-π/2
    2.48363426018436-1.57079632675     		φ = 0.91283793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51695153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.619141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91283793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.301761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13688 KachelY 10779 -0.51695153 0.91283793 -29.619141 52.301761
    Oben rechts KachelX + 1 13689 KachelY 10779 -0.51675978 0.91283793 -29.608154 52.301761
    Unten links KachelX 13688 KachelY + 1 10780 -0.51695153 0.91272067 -29.619141 52.295042
    Unten rechts KachelX + 1 13689 KachelY + 1 10780 -0.51675978 0.91272067 -29.608154 52.295042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91283793-0.91272067) × R
    0.000117260000000008 × 6371000     		dl = 747.06346000005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91283793-0.91272067) × R
    0.000117260000000008 × 6371000     		dr = 747.06346000005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51695153--0.51675978) × cos(0.91283793) × R
    0.000191750000000046 × 0.611502724642922 × 6371000     		do = 747.035729905915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51695153--0.51675978) × cos(0.91272067) × R
    0.000191750000000046 × 0.611595501513751 × 6371000     		du = 747.149069772813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91283793)-sin(0.91272067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611502724642922-0.611595501513751)×R²
    abs(-0.51675978--0.51695153)×9.27768708293142e-05×R²
    0.000191750000000046×9.27768708293142e-05×6371000²
    0.000191750000000046×9.27768708293142e-05×40589641000000     		ar = 558125.433803837m²