Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13687 / 4764
↖ ↑ ↗
← N 77.702234°
W 29.630127°		 ← 260.19 m → N 77.702234°
W 29.619141°		 →
↑
260.26 m
↓
↑
260.26 m
↓
N 77.699894°
W 29.630127°		 ← 260.23 m →
67 721 m²		 N 77.699894°
W 29.619141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417709350585938 y=0.145401000976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417709350585938 × 215)
    floor (0.417709350585938 × 32768)
    floor (13687.5)     		tx = 13687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.145401000976562 × 215)
    floor (0.145401000976562 × 32768)
    floor (4764.5)     		ty = 4764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13687 / 4764 ti = "15/13687/4764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13687/4764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13687 ÷ 215
    13687 ÷ 32768     		x = 0.417694091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4764 ÷ 215
    4764 ÷ 32768     		y = 0.1453857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417694091796875 × 2 - 1) × π
    -0.16461181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51714327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1453857421875 × 2 - 1) × π
    0.709228515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.22810709434021
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51714327} λ = -0.51714327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22810709434021))-π/2
    2×atan(9.28227896097588)-π/2
    2×1.46347807187274-π/2
    2.92695614374548-1.57079632675     		φ = 1.35615982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51714327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.630127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35615982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.702234°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13687 KachelY 4764 -0.51714327 1.35615982 -29.630127 77.702234
    Oben rechts KachelX + 1 13688 KachelY 4764 -0.51695153 1.35615982 -29.619141 77.702234
    Unten links KachelX 13687 KachelY + 1 4765 -0.51714327 1.35611897 -29.630127 77.699894
    Unten rechts KachelX + 1 13688 KachelY + 1 4765 -0.51695153 1.35611897 -29.619141 77.699894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35615982-1.35611897) × R
    4.08499999999812e-05 × 6371000     		dl = 260.25534999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35615982-1.35611897) × R
    4.08499999999812e-05 × 6371000     		dr = 260.25534999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51714327--0.51695153) × cos(1.35615982) × R
    0.000191739999999996 × 0.212992289933251 × 6371000     		do = 260.186171591042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51714327--0.51695153) × cos(1.35611897) × R
    0.000191739999999996 × 0.213032202406526 × 6371000     		du = 260.234927692135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35615982)-sin(1.35611897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.212992289933251-0.213032202406526)×R²
    abs(-0.51695153--0.51714327)×3.9912473274506e-05×R²
    0.000191739999999996×3.9912473274506e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.9912473274506e-05×40589641000000     		ar = 67721.1876799143m²