Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13687 / 3395
↖ ↑ ↗
← N 80.526648°
W 29.630127°		 ← 201.06 m → N 80.526648°
W 29.619141°		 →
↑
201.07 m
↓
↑
201.07 m
↓
N 80.524840°
W 29.630127°		 ← 201.10 m →
40 430 m²		 N 80.524840°
W 29.619141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417709350585938 y=0.103622436523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417709350585938 × 215)
    floor (0.417709350585938 × 32768)
    floor (13687.5)     		tx = 13687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103622436523438 × 215)
    floor (0.103622436523438 × 32768)
    floor (3395.5)     		ty = 3395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13687 / 3395 ti = "15/13687/3395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13687/3395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13687 ÷ 215
    13687 ÷ 32768     		x = 0.417694091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3395 ÷ 215
    3395 ÷ 32768     		y = 0.103607177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417694091796875 × 2 - 1) × π
    -0.16461181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51714327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103607177734375 × 2 - 1) × π
    0.79278564453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.49060955665964
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51714327} λ = -0.51714327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49060955665964))-π/2
    2×atan(12.0686303928228)-π/2
    2×1.48812573480536-π/2
    2.97625146961073-1.57079632675     		φ = 1.40545514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51714327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.630127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40545514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.526648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13687 KachelY 3395 -0.51714327 1.40545514 -29.630127 80.526648
    Oben rechts KachelX + 1 13688 KachelY 3395 -0.51695153 1.40545514 -29.619141 80.526648
    Unten links KachelX 13687 KachelY + 1 3396 -0.51714327 1.40542358 -29.630127 80.524840
    Unten rechts KachelX + 1 13688 KachelY + 1 3396 -0.51695153 1.40542358 -29.619141 80.524840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40545514-1.40542358) × R
    3.15600000000416e-05 × 6371000     		dl = 201.068760000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40545514-1.40542358) × R
    3.15600000000416e-05 × 6371000     		dr = 201.068760000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51714327--0.51695153) × cos(1.40545514) × R
    0.000191739999999996 × 0.164588874340861 × 6371000     		do = 201.057743050926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51714327--0.51695153) × cos(1.40542358) × R
    0.000191739999999996 × 0.164620003851726 × 6371000     		du = 201.09577009997m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40545514)-sin(1.40542358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164588874340861-0.164620003851726)×R²
    abs(-0.51695153--0.51714327)×3.11295108643139e-05×R²
    0.000191739999999996×3.11295108643139e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.11295108643139e-05×40589641000000     		ar = 40430.2541126804m²