Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13687 / 10666
↖ ↑ ↗
← N 53.054422°
W 29.630127°		 ← 734.24 m → N 53.054422°
W 29.619141°		 →
↑
734.32 m
↓
↑
734.32 m
↓
N 53.047818°
W 29.630127°		 ← 734.35 m →
539 206 m²		 N 53.047818°
W 29.619141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10666 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417709350585938 y=0.325515747070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417709350585938 × 215)
    floor (0.417709350585938 × 32768)
    floor (13687.5)     		tx = 13687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325515747070312 × 215)
    floor (0.325515747070312 × 32768)
    floor (10666.5)     		ty = 10666
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13687 / 10666 ti = "15/13687/10666"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13687/10666.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13687 ÷ 215
    13687 ÷ 32768     		x = 0.417694091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10666 ÷ 215
    10666 ÷ 32768     		y = 0.32550048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417694091796875 × 2 - 1) × π
    -0.16461181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51714327
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32550048828125 × 2 - 1) × π
    0.3489990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09641276810992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51714327} λ = -0.51714327}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09641276810992))-π/2
    2×atan(2.99340868984388)-π/2
    2×1.24838533553521-π/2
    2.49677067107043-1.57079632675     		φ = 0.92597434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51714327} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.630127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92597434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.054422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13687 KachelY 10666 -0.51714327 0.92597434 -29.630127 53.054422
    Oben rechts KachelX + 1 13688 KachelY 10666 -0.51695153 0.92597434 -29.619141 53.054422
    Unten links KachelX 13687 KachelY + 1 10667 -0.51714327 0.92585908 -29.630127 53.047818
    Unten rechts KachelX + 1 13688 KachelY + 1 10667 -0.51695153 0.92585908 -29.619141 53.047818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92597434-0.92585908) × R
    0.000115260000000061 × 6371000     		dl = 734.321460000391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92597434-0.92585908) × R
    0.000115260000000061 × 6371000     		dr = 734.321460000391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51714327--0.51695153) × cos(0.92597434) × R
    0.000191739999999996 × 0.601056178678483 × 6371000     		do = 734.235526039488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51714327--0.51695153) × cos(0.92585908) × R
    0.000191739999999996 × 0.601148291258752 × 6371000     		du = 734.348048514471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92597434)-sin(0.92585908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601056178678483-0.601148291258752)×R²
    abs(-0.51695153--0.51714327)×9.21125802691991e-05×R²
    0.000191739999999996×9.21125802691991e-05×6371000²
    0.000191739999999996×9.21125802691991e-05×40589641000000     		ar = 539206.217895892m²