Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13686 / 3170
↖ ↑ ↗
← N 80.924961°
W 29.641113°		 ← 192.69 m → N 80.924961°
W 29.630127°		 →
↑
192.72 m
↓
↑
192.72 m
↓
N 80.923227°
W 29.641113°		 ← 192.72 m →
37 139 m²		 N 80.923227°
W 29.630127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417678833007812 y=0.0967559814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417678833007812 × 215)
    floor (0.417678833007812 × 32768)
    floor (13686.5)     		tx = 13686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0967559814453125 × 215)
    floor (0.0967559814453125 × 32768)
    floor (3170.5)     		ty = 3170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13686 / 3170 ti = "15/13686/3170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13686/3170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13686 ÷ 215
    13686 ÷ 32768     		x = 0.41766357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3170 ÷ 215
    3170 ÷ 32768     		y = 0.09674072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41766357421875 × 2 - 1) × π
    -0.1646728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51733502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09674072265625 × 2 - 1) × π
    0.8065185546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.53375276631769
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51733502} λ = -0.51733502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53375276631769))-π/2
    2×atan(12.6007050194628)-π/2
    2×1.49160166857121-π/2
    2.98320333714242-1.57079632675     		φ = 1.41240701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51733502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.641113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41240701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.924961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13686 KachelY 3170 -0.51733502 1.41240701 -29.641113 80.924961
    Oben rechts KachelX + 1 13687 KachelY 3170 -0.51714327 1.41240701 -29.630127 80.924961
    Unten links KachelX 13686 KachelY + 1 3171 -0.51733502 1.41237676 -29.641113 80.923227
    Unten rechts KachelX + 1 13687 KachelY + 1 3171 -0.51714327 1.41237676 -29.630127 80.923227
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41240701-1.41237676) × R
    3.02500000000094e-05 × 6371000     		dl = 192.72275000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41240701-1.41237676) × R
    3.02500000000094e-05 × 6371000     		dr = 192.72275000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51733502--0.51714327) × cos(1.41240701) × R
    0.000191749999999935 × 0.157727890237232 × 6371000     		do = 192.68658153343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51733502--0.51714327) × cos(1.41237676) × R
    0.000191749999999935 × 0.157757761514131 × 6371000     		du = 192.723073457737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41240701)-sin(1.41237676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157727890237232-0.157757761514131)×R²
    abs(-0.51714327--0.51733502)×2.98712768987686e-05×R²
    0.000191749999999935×2.98712768987686e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.98712768987686e-05×40589641000000     		ar = 37138.6042967133m²