Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13685 / 3382
↖ ↑ ↗
← N 80.550126°
W 29.652100°		 ← 200.57 m → N 80.550126°
W 29.641113°		 →
↑
200.56 m
↓
↑
200.56 m
↓
N 80.548322°
W 29.652100°		 ← 200.61 m →
40 231 m²		 N 80.548322°
W 29.641113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417648315429688 y=0.103225708007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417648315429688 × 215)
    floor (0.417648315429688 × 32768)
    floor (13685.5)     		tx = 13685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103225708007812 × 215)
    floor (0.103225708007812 × 32768)
    floor (3382.5)     		ty = 3382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13685 / 3382 ti = "15/13685/3382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13685/3382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13685 ÷ 215
    13685 ÷ 32768     		x = 0.417633056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3382 ÷ 215
    3382 ÷ 32768     		y = 0.10321044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417633056640625 × 2 - 1) × π
    -0.16473388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51752677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10321044921875 × 2 - 1) × π
    0.7935791015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.49310227543988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51752677} λ = -0.51752677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49310227543988))-π/2
    2×atan(12.0987516207332)-π/2
    2×1.48833061970431-π/2
    2.97666123940861-1.57079632675     		φ = 1.40586491
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51752677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.652100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40586491 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.550126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13685 KachelY 3382 -0.51752677 1.40586491 -29.652100 80.550126
    Oben rechts KachelX + 1 13686 KachelY 3382 -0.51733502 1.40586491 -29.641113 80.550126
    Unten links KachelX 13685 KachelY + 1 3383 -0.51752677 1.40583343 -29.652100 80.548322
    Unten rechts KachelX + 1 13686 KachelY + 1 3383 -0.51733502 1.40583343 -29.641113 80.548322
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40586491-1.40583343) × R
    3.14800000000837e-05 × 6371000     		dl = 200.559080000533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40586491-1.40583343) × R
    3.14800000000837e-05 × 6371000     		dr = 200.559080000533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51752677--0.51733502) × cos(1.40586491) × R
    0.000191750000000046 × 0.164184678871858 × 6371000     		do = 200.574447958556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51752677--0.51733502) × cos(1.40583343) × R
    0.000191750000000046 × 0.164215731594874 × 6371000     		du = 200.612383183812m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40586491)-sin(1.40583343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164184678871858-0.164215731594874)×R²
    abs(-0.51733502--0.51752677)×3.10527230161783e-05×R²
    0.000191750000000046×3.10527230161783e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.10527230161783e-05×40589641000000     		ar = 40230.8308851843m²