Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13685 / 3169
↖ ↑ ↗
← N 80.926693°
W 29.652100°		 ← 192.65 m → N 80.926693°
W 29.641113°		 →
↑
192.66 m
↓
↑
192.66 m
↓
N 80.924961°
W 29.652100°		 ← 192.69 m →
37 119 m²		 N 80.924961°
W 29.641113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417648315429688 y=0.0967254638671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417648315429688 × 215)
    floor (0.417648315429688 × 32768)
    floor (13685.5)     		tx = 13685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0967254638671875 × 215)
    floor (0.0967254638671875 × 32768)
    floor (3169.5)     		ty = 3169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13685 / 3169 ti = "15/13685/3169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13685/3169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13685 ÷ 215
    13685 ÷ 32768     		x = 0.417633056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3169 ÷ 215
    3169 ÷ 32768     		y = 0.096710205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417633056640625 × 2 - 1) × π
    -0.16473388671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51752677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.096710205078125 × 2 - 1) × π
    0.80657958984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.53394451391617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51752677} λ = -0.51752677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53394451391617))-π/2
    2×atan(12.6031214060502)-π/2
    2×1.49161678911169-π/2
    2.98323357822339-1.57079632675     		φ = 1.41243725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51752677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.652100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41243725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.926693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13685 KachelY 3169 -0.51752677 1.41243725 -29.652100 80.926693
    Oben rechts KachelX + 1 13686 KachelY 3169 -0.51733502 1.41243725 -29.641113 80.926693
    Unten links KachelX 13685 KachelY + 1 3170 -0.51752677 1.41240701 -29.652100 80.924961
    Unten rechts KachelX + 1 13686 KachelY + 1 3170 -0.51733502 1.41240701 -29.641113 80.924961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41243725-1.41240701) × R
    3.02400000000702e-05 × 6371000     		dl = 192.659040000447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41243725-1.41240701) × R
    3.02400000000702e-05 × 6371000     		dr = 192.659040000447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51752677--0.51733502) × cos(1.41243725) × R
    0.000191750000000046 × 0.157698028690877 × 6371000     		do = 192.650101496447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51752677--0.51733502) × cos(1.41240701) × R
    0.000191750000000046 × 0.157727890237232 × 6371000     		du = 192.686581533541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41243725)-sin(1.41240701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157698028690877-0.157727890237232)×R²
    abs(-0.51733502--0.51752677)×2.98615463558416e-05×R²
    0.000191750000000046×2.98615463558416e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.98615463558416e-05×40589641000000     		ar = 37119.2977175602m²