Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13684 / 4660
↖ ↑ ↗
← N 77.943238°
W 29.663086°		 ← 255.18 m → N 77.943238°
W 29.652100°		 →
↑
255.16 m
↓
↑
255.16 m
↓
N 77.940943°
W 29.663086°		 ← 255.22 m →
65 117 m²		 N 77.940943°
W 29.652100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4660 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417617797851562 y=0.142227172851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417617797851562 × 215)
    floor (0.417617797851562 × 32768)
    floor (13684.5)     		tx = 13684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.142227172851562 × 215)
    floor (0.142227172851562 × 32768)
    floor (4660.5)     		ty = 4660
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13684 / 4660 ti = "15/13684/4660"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13684/4660.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13684 ÷ 215
    13684 ÷ 32768     		x = 0.4176025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4660 ÷ 215
    4660 ÷ 32768     		y = 0.1422119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4176025390625 × 2 - 1) × π
    -0.164794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51771852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1422119140625 × 2 - 1) × π
    0.715576171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.24804884458215
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51771852} λ = -0.51771852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24804884458215))-π/2
    2×atan(9.4692418373787)-π/2
    2×1.46558122946464-π/2
    2.93116245892927-1.57079632675     		φ = 1.36036613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51771852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.663086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36036613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.943238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13684 KachelY 4660 -0.51771852 1.36036613 -29.663086 77.943238
    Oben rechts KachelX + 1 13685 KachelY 4660 -0.51752677 1.36036613 -29.652100 77.943238
    Unten links KachelX 13684 KachelY + 1 4661 -0.51771852 1.36032608 -29.663086 77.940943
    Unten rechts KachelX + 1 13685 KachelY + 1 4661 -0.51752677 1.36032608 -29.652100 77.940943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36036613-1.36032608) × R
    4.00499999999582e-05 × 6371000     		dl = 255.158549999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36036613-1.36032608) × R
    4.00499999999582e-05 × 6371000     		dr = 255.158549999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51771852--0.51752677) × cos(1.36036613) × R
    0.000191749999999935 × 0.208880626308184 × 6371000     		do = 255.176771662574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51771852--0.51752677) × cos(1.36032608) × R
    0.000191749999999935 × 0.208919792683526 × 6371000     		du = 255.224618843972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36036613)-sin(1.36032608))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208880626308184-0.208919792683526)×R²
    abs(-0.51752677--0.51771852)×3.91663753420146e-05×R²
    0.000191749999999935×3.91663753420146e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.91663753420146e-05×40589641000000     		ar = 65116.6393684437m²