Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13684 / 3392
↖ ↑ ↗
← N 80.532071°
W 29.663086°		 ← 200.95 m → N 80.532071°
W 29.652100°		 →
↑
200.94 m
↓
↑
200.94 m
↓
N 80.530264°
W 29.663086°		 ← 200.99 m →
40 384 m²		 N 80.530264°
W 29.652100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417617797851562 y=0.103530883789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417617797851562 × 215)
    floor (0.417617797851562 × 32768)
    floor (13684.5)     		tx = 13684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103530883789062 × 215)
    floor (0.103530883789062 × 32768)
    floor (3392.5)     		ty = 3392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13684 / 3392 ti = "15/13684/3392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13684/3392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13684 ÷ 215
    13684 ÷ 32768     		x = 0.4176025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3392 ÷ 215
    3392 ÷ 32768     		y = 0.103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4176025390625 × 2 - 1) × π
    -0.164794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51771852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103515625 × 2 - 1) × π
    0.79296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.49118479945508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51771852} λ = -0.51771852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49118479945508))-π/2
    2×atan(12.0755747826707)-π/2
    2×1.48817306065902-π/2
    2.97634612131804-1.57079632675     		φ = 1.40554979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51771852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.663086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40554979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.532071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13684 KachelY 3392 -0.51771852 1.40554979 -29.663086 80.532071
    Oben rechts KachelX + 1 13685 KachelY 3392 -0.51752677 1.40554979 -29.652100 80.532071
    Unten links KachelX 13684 KachelY + 1 3393 -0.51771852 1.40551825 -29.663086 80.530264
    Unten rechts KachelX + 1 13685 KachelY + 1 3393 -0.51752677 1.40551825 -29.652100 80.530264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40554979-1.40551825) × R
    3.15399999999411e-05 × 6371000     		dl = 200.941339999624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40554979-1.40551825) × R
    3.15399999999411e-05 × 6371000     		dr = 200.941339999624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51771852--0.51752677) × cos(1.40554979) × R
    0.000191749999999935 × 0.164495514416111 × 6371000     		do = 200.954176859594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51771852--0.51752677) × cos(1.40551825) × R
    0.000191749999999935 × 0.164526624691082 × 6371000     		du = 200.992182392577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40554979)-sin(1.40551825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164495514416111-0.164526624691082)×R²
    abs(-0.51752677--0.51771852)×3.11102749707692e-05×R²
    0.000191749999999935×3.11102749707692e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.11102749707692e-05×40589641000000     		ar = 40383.8200212916m²