Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13684 / 3166
↖ ↑ ↗
← N 80.931889°
W 29.663086°		 ← 192.54 m → N 80.931889°
W 29.652100°		 →
↑
192.53 m
↓
↑
192.53 m
↓
N 80.930158°
W 29.663086°		 ← 192.58 m →
37 074 m²		 N 80.930158°
W 29.652100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417617797851562 y=0.0966339111328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417617797851562 × 215)
    floor (0.417617797851562 × 32768)
    floor (13684.5)     		tx = 13684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0966339111328125 × 215)
    floor (0.0966339111328125 × 32768)
    floor (3166.5)     		ty = 3166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13684 / 3166 ti = "15/13684/3166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13684/3166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13684 ÷ 215
    13684 ÷ 32768     		x = 0.4176025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3166 ÷ 215
    3166 ÷ 32768     		y = 0.09661865234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4176025390625 × 2 - 1) × π
    -0.164794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51771852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09661865234375 × 2 - 1) × π
    0.8067626953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.53451975671161
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51771852} λ = -0.51771852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53451975671161))-π/2
    2×atan(12.6103733464523)-π/2
    2×1.49166213355859-π/2
    2.98332426711719-1.57079632675     		φ = 1.41252794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51771852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.663086°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41252794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.931889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13684 KachelY 3166 -0.51771852 1.41252794 -29.663086 80.931889
    Oben rechts KachelX + 1 13685 KachelY 3166 -0.51752677 1.41252794 -29.652100 80.931889
    Unten links KachelX 13684 KachelY + 1 3167 -0.51771852 1.41249772 -29.663086 80.930158
    Unten rechts KachelX + 1 13685 KachelY + 1 3167 -0.51752677 1.41249772 -29.652100 80.930158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41252794-1.41249772) × R
    3.02199999999697e-05 × 6371000     		dl = 192.531619999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41252794-1.41249772) × R
    3.02199999999697e-05 × 6371000     		dr = 192.531619999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51771852--0.51752677) × cos(1.41252794) × R
    0.000191749999999935 × 0.15760847281172 × 6371000     		do = 192.54069651929m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51771852--0.51752677) × cos(1.41249772) × R
    0.000191749999999935 × 0.157638315040537 × 6371000     		du = 192.57715295732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41252794)-sin(1.41249772))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15760847281172-0.157638315040537)×R²
    abs(-0.51752677--0.51771852)×2.98422288169953e-05×R²
    0.000191749999999935×2.98422288169953e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.98422288169953e-05×40589641000000     		ar = 37073.6817282434m²