Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13683 / 2959
↖ ↑ ↗
← N 81.283382°
W 29.674072°		 ← 185.13 m → N 81.283382°
W 29.663086°		 →
↑
185.14 m
↓
↑
185.14 m
↓
N 81.281717°
W 29.674072°		 ← 185.16 m →
34 278 m²		 N 81.281717°
W 29.663086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2959 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417587280273438 y=0.0903167724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417587280273438 × 215)
    floor (0.417587280273438 × 32768)
    floor (13683.5)     		tx = 13683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0903167724609375 × 215)
    floor (0.0903167724609375 × 32768)
    floor (2959.5)     		ty = 2959
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13683 / 2959 ti = "15/13683/2959"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13683/2959.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13683 ÷ 215
    13683 ÷ 32768     		x = 0.417572021484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2959 ÷ 215
    2959 ÷ 32768     		y = 0.090301513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417572021484375 × 2 - 1) × π
    -0.16485595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51791026
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.090301513671875 × 2 - 1) × π
    0.81939697265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.57421150959702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51791026} λ = -0.51791026}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57421150959702))-π/2
    2×atan(13.1209673218417)-π/2
    2×1.49472948586121-π/2
    2.98945897172242-1.57079632675     		φ = 1.41866264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51791026} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.674072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41866264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.283382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13683 KachelY 2959 -0.51791026 1.41866264 -29.674072 81.283382
    Oben rechts KachelX + 1 13684 KachelY 2959 -0.51771852 1.41866264 -29.663086 81.283382
    Unten links KachelX 13683 KachelY + 1 2960 -0.51791026 1.41863358 -29.674072 81.281717
    Unten rechts KachelX + 1 13684 KachelY + 1 2960 -0.51771852 1.41863358 -29.663086 81.281717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41866264-1.41863358) × R
    2.90599999999142e-05 × 6371000     		dl = 185.141259999453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41866264-1.41863358) × R
    2.90599999999142e-05 × 6371000     		dr = 185.141259999453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51791026--0.51771852) × cos(1.41866264) × R
    0.000191739999999996 × 0.151547518497633 × 6371000     		do = 185.126741744402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51791026--0.51771852) × cos(1.41863358) × R
    0.000191739999999996 × 0.151576242789862 × 6371000     		du = 185.161830637192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41866264)-sin(1.41863358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151547518497633-0.151576242789862)×R²
    abs(-0.51771852--0.51791026)×2.87242922291098e-05×R²
    0.000191739999999996×2.87242922291098e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.87242922291098e-05×40589641000000     		ar = 34277.8464301315m²