Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13681 / 3389
↖ ↑ ↗
← N 80.537491°
W 29.696045°		 ← 200.84 m → N 80.537491°
W 29.685059°		 →
↑
200.81 m
↓
↑
200.81 m
↓
N 80.535685°
W 29.696045°		 ← 200.88 m →
40 335 m²		 N 80.535685°
W 29.685059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417526245117188 y=0.103439331054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417526245117188 × 215)
    floor (0.417526245117188 × 32768)
    floor (13681.5)     		tx = 13681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103439331054688 × 215)
    floor (0.103439331054688 × 32768)
    floor (3389.5)     		ty = 3389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13681 / 3389 ti = "15/13681/3389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13681/3389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13681 ÷ 215
    13681 ÷ 32768     		x = 0.417510986328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3389 ÷ 215
    3389 ÷ 32768     		y = 0.103424072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417510986328125 × 2 - 1) × π
    -0.16497802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51829376
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103424072265625 × 2 - 1) × π
    0.79315185546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.49176004225052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51829376} λ = -0.51829376}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49176004225052))-π/2
    2×atan(12.0825231683781)-π/2
    2×1.48822035966728-π/2
    2.97644071933457-1.57079632675     		φ = 1.40564439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51829376} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.696045°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40564439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.537491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13681 KachelY 3389 -0.51829376 1.40564439 -29.696045 80.537491
    Oben rechts KachelX + 1 13682 KachelY 3389 -0.51810201 1.40564439 -29.685059 80.537491
    Unten links KachelX 13681 KachelY + 1 3390 -0.51829376 1.40561287 -29.696045 80.535685
    Unten rechts KachelX + 1 13682 KachelY + 1 3390 -0.51810201 1.40561287 -29.685059 80.535685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40564439-1.40561287) × R
    3.15200000000626e-05 × 6371000     		dl = 200.813920000399m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40564439-1.40561287) × R
    3.15200000000626e-05 × 6371000     		dr = 200.813920000399m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51829376--0.51810201) × cos(1.40564439) × R
    0.000191750000000046 × 0.164402202337378 × 6371000     		do = 200.84018316183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51829376--0.51810201) × cos(1.40561287) × R
    0.000191750000000046 × 0.164433293375294 × 6371000     		du = 200.878165194073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40564439)-sin(1.40561287))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164402202337378-0.164433293375294)×R²
    abs(-0.51810201--0.51829376)×3.10910379166529e-05×R²
    0.000191750000000046×3.10910379166529e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.10910379166529e-05×40589641000000     		ar = 40335.3181381029m²