Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13680 / 3823
↖ ↑ ↗
← N 79.720566°
W 29.707031°		 ← 218 m → N 79.720566°
W 29.696045°		 →
↑
218.02 m
↓
↑
218.02 m
↓
N 79.718605°
W 29.707031°		 ← 218.04 m →
47 532 m²		 N 79.718605°
W 29.696045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417495727539062 y=0.116683959960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417495727539062 × 215)
    floor (0.417495727539062 × 32768)
    floor (13680.5)     		tx = 13680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.116683959960938 × 215)
    floor (0.116683959960938 × 32768)
    floor (3823.5)     		ty = 3823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13680 / 3823 ti = "15/13680/3823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13680/3823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13680 ÷ 215
    13680 ÷ 32768     		x = 0.41748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3823 ÷ 215
    3823 ÷ 32768     		y = 0.116668701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41748046875 × 2 - 1) × π
    -0.1650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51848551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.116668701171875 × 2 - 1) × π
    0.76666259765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.4085415845101
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51848551} λ = -0.51848551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4085415845101))-π/2
    2×atan(11.1177350387459)-π/2
    2×1.48109134385942-π/2
    2.96218268771885-1.57079632675     		φ = 1.39138636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51848551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.707031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39138636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.720566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13680 KachelY 3823 -0.51848551 1.39138636 -29.707031 79.720566
    Oben rechts KachelX + 1 13681 KachelY 3823 -0.51829376 1.39138636 -29.696045 79.720566
    Unten links KachelX 13680 KachelY + 1 3824 -0.51848551 1.39135214 -29.707031 79.718605
    Unten rechts KachelX + 1 13681 KachelY + 1 3824 -0.51829376 1.39135214 -29.696045 79.718605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39138636-1.39135214) × R
    3.42200000000847e-05 × 6371000     		dl = 218.01562000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39138636-1.39135214) × R
    3.42200000000847e-05 × 6371000     		dr = 218.01562000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51848551--0.51829376) × cos(1.39138636) × R
    0.000191749999999935 × 0.178449041848526 × 6371000     		do = 218.000353646978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51848551--0.51829376) × cos(1.39135214) × R
    0.000191749999999935 × 0.178482712484118 × 6371000     		du = 218.04148701699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39138636)-sin(1.39135214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.178449041848526-0.178482712484118)×R²
    abs(-0.51829376--0.51848551)×3.36706355921479e-05×R²
    0.000191749999999935×3.36706355921479e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.36706355921479e-05×40589641000000     		ar = 47531.9661234767m²