Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13680 / 3760
↖ ↑ ↗
← N 79.843346°
W 29.707031°		 ← 215.42 m → N 79.843346°
W 29.696045°		 →
↑
215.47 m
↓
↑
215.47 m
↓
N 79.841409°
W 29.707031°		 ← 215.46 m →
46 421 m²		 N 79.841409°
W 29.696045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417495727539062 y=0.114761352539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417495727539062 × 215)
    floor (0.417495727539062 × 32768)
    floor (13680.5)     		tx = 13680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114761352539062 × 215)
    floor (0.114761352539062 × 32768)
    floor (3760.5)     		ty = 3760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13680 / 3760 ti = "15/13680/3760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13680/3760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13680 ÷ 215
    13680 ÷ 32768     		x = 0.41748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3760 ÷ 215
    3760 ÷ 32768     		y = 0.11474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41748046875 × 2 - 1) × π
    -0.1650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51848551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11474609375 × 2 - 1) × π
    0.7705078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.42062168321436
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51848551} λ = -0.51848551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42062168321436))-π/2
    2×atan(11.2528528505055)-π/2
    2×1.4821628036372-π/2
    2.96432560727441-1.57079632675     		φ = 1.39352928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51848551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.707031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39352928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.843346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13680 KachelY 3760 -0.51848551 1.39352928 -29.707031 79.843346
    Oben rechts KachelX + 1 13681 KachelY 3760 -0.51829376 1.39352928 -29.696045 79.843346
    Unten links KachelX 13680 KachelY + 1 3761 -0.51848551 1.39349546 -29.707031 79.841409
    Unten rechts KachelX + 1 13681 KachelY + 1 3761 -0.51829376 1.39349546 -29.696045 79.841409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39352928-1.39349546) × R
    3.38200000000732e-05 × 6371000     		dl = 215.467220000467m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39352928-1.39349546) × R
    3.38200000000732e-05 × 6371000     		dr = 215.467220000467m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51848551--0.51829376) × cos(1.39352928) × R
    0.000191749999999935 × 0.176340109410918 × 6371000     		do = 215.423999005599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51848551--0.51829376) × cos(1.39349546) × R
    0.000191749999999935 × 0.176373399326904 × 6371000     		du = 215.464667273596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39352928)-sin(1.39349546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176340109410918-0.176373399326904)×R²
    abs(-0.51829376--0.51848551)×3.32899159851685e-05×R²
    0.000191749999999935×3.32899159851685e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.32899159851685e-05×40589641000000     		ar = 46421.1915307386m²