Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13680 / 3027
↖ ↑ ↗
← N 81.169433°
W 29.707031°		 ← 187.54 m → N 81.169433°
W 29.696045°		 →
↑
187.50 m
↓
↑
187.50 m
↓
N 81.167746°
W 29.707031°		 ← 187.57 m →
35 166 m²		 N 81.167746°
W 29.696045°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417495727539062 y=0.0923919677734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417495727539062 × 215)
    floor (0.417495727539062 × 32768)
    floor (13680.5)     		tx = 13680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0923919677734375 × 215)
    floor (0.0923919677734375 × 32768)
    floor (3027.5)     		ty = 3027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13680 / 3027 ti = "15/13680/3027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13680/3027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13680 ÷ 215
    13680 ÷ 32768     		x = 0.41748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3027 ÷ 215
    3027 ÷ 32768     		y = 0.092376708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41748046875 × 2 - 1) × π
    -0.1650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51848551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.092376708984375 × 2 - 1) × π
    0.81524658203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.56117267290036
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51848551} λ = -0.51848551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56117267290036))-π/2
    2×atan(12.9509956958513)-π/2
    2×1.49373509063296-π/2
    2.98747018126591-1.57079632675     		φ = 1.41667385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51848551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.707031°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41667385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.169433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13680 KachelY 3027 -0.51848551 1.41667385 -29.707031 81.169433
    Oben rechts KachelX + 1 13681 KachelY 3027 -0.51829376 1.41667385 -29.696045 81.169433
    Unten links KachelX 13680 KachelY + 1 3028 -0.51848551 1.41664442 -29.707031 81.167746
    Unten rechts KachelX + 1 13681 KachelY + 1 3028 -0.51829376 1.41664442 -29.696045 81.167746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41667385-1.41664442) × R
    2.9430000000108e-05 × 6371000     		dl = 187.498530000688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41667385-1.41664442) × R
    2.9430000000108e-05 × 6371000     		dr = 187.498530000688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51848551--0.51829376) × cos(1.41667385) × R
    0.000191749999999935 × 0.153513036917291 × 6371000     		do = 187.537551284798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51848551--0.51829376) × cos(1.41664442) × R
    0.000191749999999935 × 0.153542118005905 × 6371000     		du = 187.573077884082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41667385)-sin(1.41664442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153513036917291-0.153542118005905)×R²
    abs(-0.51829376--0.51848551)×2.90810886144355e-05×R²
    0.000191749999999935×2.90810886144355e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.90810886144355e-05×40589641000000     		ar = 35166.3457813021m²