Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1368 / 584
↖ ↑ ↗
← N 82.261699°
W119.882812°		 ← 657.96 m → N 82.261699°
W119.838867°		 →
↑
658.19 m
↓
↑
658.19 m
↓
N 82.255779°
W119.882812°		 ← 658.46 m →
433 226 m²		 N 82.255779°
W119.838867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 584 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.16705322265625 y=0.07135009765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.16705322265625 × 213)
    floor (0.16705322265625 × 8192)
    floor (1368.5)     		tx = 1368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.07135009765625 × 213)
    floor (0.07135009765625 × 8192)
    floor (584.5)     		ty = 584
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1368 / 584 ti = "13/1368/584"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1368/584.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1368 ÷ 213
    1368 ÷ 8192     		x = 0.1669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 584 ÷ 213
    584 ÷ 8192     		y = 0.0712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1669921875 × 2 - 1) × π
    -0.666015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.09234979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0712890625 × 2 - 1) × π
    0.857421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.6936702634502
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09234979} λ = -2.09234979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.6936702634502))-π/2
    2×atan(14.7858443976166)-π/2
    2×1.50326690901295-π/2
    3.0065338180259-1.57079632675     		φ = 1.43573749
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09234979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.882812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43573749 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.261699°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1368 KachelY 584 -2.09234979 1.43573749 -119.882812 82.261699
    Oben rechts KachelX + 1 1369 KachelY 584 -2.09158280 1.43573749 -119.838867 82.261699
    Unten links KachelX 1368 KachelY + 1 585 -2.09234979 1.43563418 -119.882812 82.255779
    Unten rechts KachelX + 1 1369 KachelY + 1 585 -2.09158280 1.43563418 -119.838867 82.255779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43573749-1.43563418) × R
    0.000103309999999857 × 6371000     		dl = 658.188009999086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43573749-1.43563418) × R
    0.000103309999999857 × 6371000     		dr = 658.188009999086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09234979--2.09158280) × cos(1.43573749) × R
    0.000766990000000245 × 0.134648612232741 × 6371000     		do = 657.959540183313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09234979--2.09158280) × cos(1.43563418) × R
    0.000766990000000245 × 0.134750980712262 × 6371000     		du = 658.459763071596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43573749)-sin(1.43563418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134648612232741-0.134750980712262)×R²
    abs(-2.09158280--2.09234979)×0.000102368479520248×R²
    0.000766990000000245×0.000102368479520248×6371000²
    0.000766990000000245×0.000102368479520248×40589641000000     		ar = 433225.701153627m²