Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1368 / 569
↖ ↑ ↗
← N 82.349953°
W119.882812°		 ← 650.50 m → N 82.349953°
W119.838867°		 →
↑
650.80 m
↓
↑
650.80 m
↓
N 82.344100°
W119.882812°		 ← 651 m →
423 505 m²		 N 82.344100°
W119.838867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.16705322265625 y=0.06951904296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.16705322265625 × 213)
    floor (0.16705322265625 × 8192)
    floor (1368.5)     		tx = 1368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.06951904296875 × 213)
    floor (0.06951904296875 × 8192)
    floor (569.5)     		ty = 569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1368 / 569 ti = "13/1368/569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1368/569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1368 ÷ 213
    1368 ÷ 8192     		x = 0.1669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 569 ÷ 213
    569 ÷ 8192     		y = 0.0694580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1669921875 × 2 - 1) × π
    -0.666015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.09234979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0694580078125 × 2 - 1) × π
    0.861083984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.70517511935901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.09234979} λ = -2.09234979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.70517511935901))-π/2
    2×atan(14.9569357101931)-π/2
    2×1.50403706686604-π/2
    3.00807413373209-1.57079632675     		φ = 1.43727781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.09234979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -119.882812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43727781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.349953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1368 KachelY 569 -2.09234979 1.43727781 -119.882812 82.349953
    Oben rechts KachelX + 1 1369 KachelY 569 -2.09158280 1.43727781 -119.838867 82.349953
    Unten links KachelX 1368 KachelY + 1 570 -2.09234979 1.43717566 -119.882812 82.344100
    Unten rechts KachelX + 1 1369 KachelY + 1 570 -2.09158280 1.43717566 -119.838867 82.344100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43727781-1.43717566) × R
    0.000102150000000023 × 6371000     		dl = 650.797650000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43727781-1.43717566) × R
    0.000102150000000023 × 6371000     		dr = 650.797650000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.09234979--2.09158280) × cos(1.43727781) × R
    0.000766990000000245 × 0.133122160165373 × 6371000     		do = 650.500542398609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.09234979--2.09158280) × cos(1.43717566) × R
    0.000766990000000245 × 0.133223400298578 × 6371000     		du = 650.995251630191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43727781)-sin(1.43717566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133122160165373-0.133223400298578)×R²
    abs(-2.09158280--2.09234979)×0.000101240133204367×R²
    0.000766990000000245×0.000101240133204367×6371000²
    0.000766990000000245×0.000101240133204367×40589641000000     		ar = 423505.202487628m²