Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13679 / 3766
↖ ↑ ↗
← N 79.831716°
W 29.718017°		 ← 215.66 m → N 79.831716°
W 29.707031°		 →
↑
215.72 m
↓
↑
215.72 m
↓
N 79.829776°
W 29.718017°		 ← 215.70 m →
46 526 m²		 N 79.829776°
W 29.707031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417465209960938 y=0.114944458007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417465209960938 × 215)
    floor (0.417465209960938 × 32768)
    floor (13679.5)     		tx = 13679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114944458007812 × 215)
    floor (0.114944458007812 × 32768)
    floor (3766.5)     		ty = 3766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13679 / 3766 ti = "15/13679/3766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13679/3766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13679 ÷ 215
    13679 ÷ 32768     		x = 0.417449951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3766 ÷ 215
    3766 ÷ 32768     		y = 0.11492919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417449951171875 × 2 - 1) × π
    -0.16510009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51867725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11492919921875 × 2 - 1) × π
    0.7701416015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.41947119762347
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51867725} λ = -0.51867725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41947119762347))-π/2
    2×atan(11.2399140498237)-π/2
    2×1.48206130780172-π/2
    2.96412261560343-1.57079632675     		φ = 1.39332629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51867725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.718017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39332629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.831716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13679 KachelY 3766 -0.51867725 1.39332629 -29.718017 79.831716
    Oben rechts KachelX + 1 13680 KachelY 3766 -0.51848551 1.39332629 -29.707031 79.831716
    Unten links KachelX 13679 KachelY + 1 3767 -0.51867725 1.39329243 -29.718017 79.829776
    Unten rechts KachelX + 1 13680 KachelY + 1 3767 -0.51848551 1.39329243 -29.707031 79.829776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39332629-1.39329243) × R
    3.38600000000522e-05 × 6371000     		dl = 215.722060000332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39332629-1.39329243) × R
    3.38600000000522e-05 × 6371000     		dr = 215.722060000332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51867725--0.51848551) × cos(1.39332629) × R
    0.000191739999999996 × 0.176539914780593 × 6371000     		do = 215.656841729652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51867725--0.51848551) × cos(1.39329243) × R
    0.000191739999999996 × 0.176573242856682 × 6371000     		du = 215.697554492198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39332629)-sin(1.39329243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176539914780593-0.176573242856682)×R²
    abs(-0.51848551--0.51867725)×3.33280760889676e-05×R²
    0.000191739999999996×3.33280760889676e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.33280760889676e-05×40589641000000     		ar = 46526.3294755405m²