Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13679 / 3391
↖ ↑ ↗
← N 80.533878°
W 29.718017°		 ← 200.91 m → N 80.533878°
W 29.707031°		 →
↑
200.94 m
↓
↑
200.94 m
↓
N 80.532071°
W 29.718017°		 ← 200.94 m →
40 374 m²		 N 80.532071°
W 29.707031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417465209960938 y=0.103500366210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417465209960938 × 215)
    floor (0.417465209960938 × 32768)
    floor (13679.5)     		tx = 13679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103500366210938 × 215)
    floor (0.103500366210938 × 32768)
    floor (3391.5)     		ty = 3391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13679 / 3391 ti = "15/13679/3391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13679/3391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13679 ÷ 215
    13679 ÷ 32768     		x = 0.417449951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3391 ÷ 215
    3391 ÷ 32768     		y = 0.103485107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417449951171875 × 2 - 1) × π
    -0.16510009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51867725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103485107421875 × 2 - 1) × π
    0.79302978515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.49137654705356
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51867725} λ = -0.51867725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49137654705356))-π/2
    2×atan(12.0778904671419)-π/2
    2×1.4881888299772-π/2
    2.9763776599544-1.57079632675     		φ = 1.40558133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51867725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.718017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40558133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.533878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13679 KachelY 3391 -0.51867725 1.40558133 -29.718017 80.533878
    Oben rechts KachelX + 1 13680 KachelY 3391 -0.51848551 1.40558133 -29.707031 80.533878
    Unten links KachelX 13679 KachelY + 1 3392 -0.51867725 1.40554979 -29.718017 80.532071
    Unten rechts KachelX + 1 13680 KachelY + 1 3392 -0.51848551 1.40554979 -29.707031 80.532071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40558133-1.40554979) × R
    3.15399999999411e-05 × 6371000     		dl = 200.941339999624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40558133-1.40554979) × R
    3.15399999999411e-05 × 6371000     		dr = 200.941339999624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51867725--0.51848551) × cos(1.40558133) × R
    0.000191739999999996 × 0.164464403977505 × 6371000     		do = 200.905693099594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51867725--0.51848551) × cos(1.40554979) × R
    0.000191739999999996 × 0.164495514416111 × 6371000     		du = 200.943696850434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40558133)-sin(1.40554979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164464403977505-0.164495514416111)×R²
    abs(-0.51848551--0.51867725)×3.11104386062355e-05×R²
    0.000191739999999996×3.11104386062355e-05×6371000²
    0.000191739999999996×3.11104386062355e-05×40589641000000     		ar = 40374.07745048m²