Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13679 / 3176
↖ ↑ ↗
← N 80.914557°
W 29.718017°		 ← 192.90 m → N 80.914557°
W 29.707031°		 →
↑
192.91 m
↓
↑
192.91 m
↓
N 80.912823°
W 29.718017°		 ← 192.93 m →
37 216 m²		 N 80.912823°
W 29.707031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417465209960938 y=0.0969390869140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417465209960938 × 215)
    floor (0.417465209960938 × 32768)
    floor (13679.5)     		tx = 13679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0969390869140625 × 215)
    floor (0.0969390869140625 × 32768)
    floor (3176.5)     		ty = 3176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13679 / 3176 ti = "15/13679/3176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13679/3176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13679 ÷ 215
    13679 ÷ 32768     		x = 0.417449951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3176 ÷ 215
    3176 ÷ 32768     		y = 0.096923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417449951171875 × 2 - 1) × π
    -0.16510009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51867725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.096923828125 × 2 - 1) × π
    0.80615234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.53260228072681
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51867725} λ = -0.51867725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53260228072681))-π/2
    2×atan(12.5862164259601)-π/2
    2×1.49151088518037-π/2
    2.98302177036074-1.57079632675     		φ = 1.41222544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51867725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.718017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41222544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.914557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13679 KachelY 3176 -0.51867725 1.41222544 -29.718017 80.914557
    Oben rechts KachelX + 1 13680 KachelY 3176 -0.51848551 1.41222544 -29.707031 80.914557
    Unten links KachelX 13679 KachelY + 1 3177 -0.51867725 1.41219516 -29.718017 80.912823
    Unten rechts KachelX + 1 13680 KachelY + 1 3177 -0.51848551 1.41219516 -29.707031 80.912823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41222544-1.41219516) × R
    3.02800000000492e-05 × 6371000     		dl = 192.913880000313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41222544-1.41219516) × R
    3.02800000000492e-05 × 6371000     		dr = 192.913880000313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51867725--0.51848551) × cos(1.41222544) × R
    0.000191739999999996 × 0.157907184854482 × 6371000     		do = 192.89555460849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51867725--0.51848551) × cos(1.41219516) × R
    0.000191739999999996 × 0.157937084887963 × 6371000     		du = 192.932079758035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41222544)-sin(1.41219516))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157907184854482-0.157937084887963)×R²
    abs(-0.51848551--0.51867725)×2.99000334804955e-05×R²
    0.000191739999999996×2.99000334804955e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.99000334804955e-05×40589641000000     		ar = 37215.75298144m²