Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13679 / 3025
↖ ↑ ↗
← N 81.172805°
W 29.718017°		 ← 187.46 m → N 81.172805°
W 29.707031°		 →
↑
187.43 m
↓
↑
187.43 m
↓
N 81.171119°
W 29.718017°		 ← 187.49 m →
35 139 m²		 N 81.171119°
W 29.707031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417465209960938 y=0.0923309326171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417465209960938 × 215)
    floor (0.417465209960938 × 32768)
    floor (13679.5)     		tx = 13679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0923309326171875 × 215)
    floor (0.0923309326171875 × 32768)
    floor (3025.5)     		ty = 3025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13679 / 3025 ti = "15/13679/3025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13679/3025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13679 ÷ 215
    13679 ÷ 32768     		x = 0.417449951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3025 ÷ 215
    3025 ÷ 32768     		y = 0.092315673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417449951171875 × 2 - 1) × π
    -0.16510009765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51867725
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.092315673828125 × 2 - 1) × π
    0.81536865234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.56155616809732
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51867725} λ = -0.51867725}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56155616809732))-π/2
    2×atan(12.9559632929604)-π/2
    2×1.49376452081163-π/2
    2.98752904162326-1.57079632675     		φ = 1.41673271
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51867725} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.718017°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41673271 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.172805°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13679 KachelY 3025 -0.51867725 1.41673271 -29.718017 81.172805
    Oben rechts KachelX + 1 13680 KachelY 3025 -0.51848551 1.41673271 -29.707031 81.172805
    Unten links KachelX 13679 KachelY + 1 3026 -0.51867725 1.41670329 -29.718017 81.171119
    Unten rechts KachelX + 1 13680 KachelY + 1 3026 -0.51848551 1.41670329 -29.707031 81.171119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41673271-1.41670329) × R
    2.94199999999467e-05 × 6371000     		dl = 187.434819999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41673271-1.41670329) × R
    2.94199999999467e-05 × 6371000     		dr = 187.434819999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51867725--0.51848551) × cos(1.41673271) × R
    0.000191739999999996 × 0.153454874341203 × 6371000     		do = 187.456720988983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51867725--0.51848551) × cos(1.41670329) × R
    0.000191739999999996 × 0.153483945814204 × 6371000     		du = 187.492233989313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41673271)-sin(1.41670329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153454874341203-0.153483945814204)×R²
    abs(-0.51848551--0.51867725)×2.90714730006025e-05×R²
    0.000191739999999996×2.90714730006025e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.90714730006025e-05×40589641000000     		ar = 35139.2449455392m²