Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13678 / 3410
↖ ↑ ↗
← N 80.499486°
W 29.729004°		 ← 201.64 m → N 80.499486°
W 29.718017°		 →
↑
201.64 m
↓
↑
201.64 m
↓
N 80.497673°
W 29.729004°		 ← 201.68 m →
40 663 m²		 N 80.497673°
W 29.718017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417434692382812 y=0.104080200195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417434692382812 × 215)
    floor (0.417434692382812 × 32768)
    floor (13678.5)     		tx = 13678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104080200195312 × 215)
    floor (0.104080200195312 × 32768)
    floor (3410.5)     		ty = 3410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13678 / 3410 ti = "15/13678/3410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13678/3410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13678 ÷ 215
    13678 ÷ 32768     		x = 0.41741943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3410 ÷ 215
    3410 ÷ 32768     		y = 0.10406494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41741943359375 × 2 - 1) × π
    -0.1651611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51886900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10406494140625 × 2 - 1) × π
    0.7918701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.48773334268243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51886900} λ = -0.51886900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48773334268243))-π/2
    2×atan(12.0339683010931)-π/2
    2×1.48788870233752-π/2
    2.97577740467504-1.57079632675     		φ = 1.40498108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51886900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.729004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40498108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.499486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13678 KachelY 3410 -0.51886900 1.40498108 -29.729004 80.499486
    Oben rechts KachelX + 1 13679 KachelY 3410 -0.51867725 1.40498108 -29.718017 80.499486
    Unten links KachelX 13678 KachelY + 1 3411 -0.51886900 1.40494943 -29.729004 80.497673
    Unten rechts KachelX + 1 13679 KachelY + 1 3411 -0.51867725 1.40494943 -29.718017 80.497673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40498108-1.40494943) × R
    3.16499999999387e-05 × 6371000     		dl = 201.642149999609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40498108-1.40494943) × R
    3.16499999999387e-05 × 6371000     		dr = 201.642149999609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51886900--0.51867725) × cos(1.40498108) × R
    0.000191750000000046 × 0.165056450720733 × 6371000     		do = 201.639438666187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51886900--0.51867725) × cos(1.40494943) × R
    0.000191750000000046 × 0.165087666530499 × 6371000     		du = 201.677573124617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40498108)-sin(1.40494943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165056450720733-0.165087666530499)×R²
    abs(-0.51867725--0.51886900)×3.12158097658666e-05×R²
    0.000191750000000046×3.12158097658666e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.12158097658666e-05×40589641000000     		ar = 40662.8546974764m²