Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13678 / 3157
↖ ↑ ↗
← N 80.947460°
W 29.729004°		 ← 192.21 m → N 80.947460°
W 29.718017°		 →
↑
192.21 m
↓
↑
192.21 m
↓
N 80.945731°
W 29.729004°		 ← 192.25 m →
36 949 m²		 N 80.945731°
W 29.718017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3157 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417434692382812 y=0.0963592529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417434692382812 × 215)
    floor (0.417434692382812 × 32768)
    floor (13678.5)     		tx = 13678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0963592529296875 × 215)
    floor (0.0963592529296875 × 32768)
    floor (3157.5)     		ty = 3157
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13678 / 3157 ti = "15/13678/3157"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13678/3157.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13678 ÷ 215
    13678 ÷ 32768     		x = 0.41741943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3157 ÷ 215
    3157 ÷ 32768     		y = 0.096343994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41741943359375 × 2 - 1) × π
    -0.1651611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51886900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.096343994140625 × 2 - 1) × π
    0.80731201171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.53624548509793
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51886900} λ = -0.51886900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53624548509793))-π/2
    2×atan(12.6321542142238)-π/2
    2×1.49179801245182-π/2
    2.98359602490364-1.57079632675     		φ = 1.41279970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51886900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.729004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41279970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.947460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13678 KachelY 3157 -0.51886900 1.41279970 -29.729004 80.947460
    Oben rechts KachelX + 1 13679 KachelY 3157 -0.51867725 1.41279970 -29.718017 80.947460
    Unten links KachelX 13678 KachelY + 1 3158 -0.51886900 1.41276953 -29.729004 80.945731
    Unten rechts KachelX + 1 13679 KachelY + 1 3158 -0.51867725 1.41276953 -29.718017 80.945731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41279970-1.41276953) × R
    3.01700000000515e-05 × 6371000     		dl = 192.213070000328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41279970-1.41276953) × R
    3.01700000000515e-05 × 6371000     		dr = 192.213070000328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51886900--0.51867725) × cos(1.41279970) × R
    0.000191750000000046 × 0.15734010353832 × 6371000     		do = 192.212846081521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51886900--0.51867725) × cos(1.41276953) × R
    0.000191750000000046 × 0.157369897683544 × 6371000     		du = 192.249243778748m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41279970)-sin(1.41276953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15734010353832-0.157369897683544)×R²
    abs(-0.51867725--0.51886900)×2.97941452247485e-05×R²
    0.000191750000000046×2.97941452247485e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.97941452247485e-05×40589641000000     		ar = 36949.3192974926m²