Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13677 / 3411
↖ ↑ ↗
← N 80.497673°
W 29.739990°		 ← 201.68 m → N 80.497673°
W 29.729004°		 →
↑
201.71 m
↓
↑
201.71 m
↓
N 80.495859°
W 29.739990°		 ← 201.72 m →
40 683 m²		 N 80.495859°
W 29.729004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13677 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3411 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417404174804688 y=0.104110717773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417404174804688 × 215)
    floor (0.417404174804688 × 32768)
    floor (13677.5)     		tx = 13677
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104110717773438 × 215)
    floor (0.104110717773438 × 32768)
    floor (3411.5)     		ty = 3411
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13677 / 3411 ti = "15/13677/3411"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13677/3411.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13677 ÷ 215
    13677 ÷ 32768     		x = 0.417388916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3411 ÷ 215
    3411 ÷ 32768     		y = 0.104095458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417388916015625 × 2 - 1) × π
    -0.16522216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51906075
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.104095458984375 × 2 - 1) × π
    0.79180908203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.48754159508395
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51906075} λ = -0.51906075}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48754159508395))-π/2
    2×atan(12.0316610377844)-π/2
    2×1.48787287625185-π/2
    2.97574575250371-1.57079632675     		φ = 1.40494943
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51906075} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.739990°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40494943 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.497673°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13677 KachelY 3411 -0.51906075 1.40494943 -29.739990 80.497673
    Oben rechts KachelX + 1 13678 KachelY 3411 -0.51886900 1.40494943 -29.729004 80.497673
    Unten links KachelX 13677 KachelY + 1 3412 -0.51906075 1.40491777 -29.739990 80.495859
    Unten rechts KachelX + 1 13678 KachelY + 1 3412 -0.51886900 1.40491777 -29.729004 80.495859
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40494943-1.40491777) × R
    3.16600000000999e-05 × 6371000     		dl = 201.705860000637m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40494943-1.40491777) × R
    3.16600000000999e-05 × 6371000     		dr = 201.705860000637m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51906075--0.51886900) × cos(1.40494943) × R
    0.000191749999999935 × 0.165087666530499 × 6371000     		do = 201.677573124501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51906075--0.51886900) × cos(1.40491777) × R
    0.000191749999999935 × 0.16511889203763 × 6371000     		du = 201.715719429613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40494943)-sin(1.40491777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165087666530499-0.16511889203763)×R²
    abs(-0.51886900--0.51906075)×3.12255071306944e-05×R²
    0.000191749999999935×3.12255071306944e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.12255071306944e-05×40589641000000     		ar = 40683.3955004689m²