Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13676 / 3484
↖ ↑ ↗
← N 80.364354°
W 29.750977°		 ← 204.48 m → N 80.364354°
W 29.739990°		 →
↑
204.51 m
↓
↑
204.51 m
↓
N 80.362515°
W 29.750977°		 ← 204.52 m →
41 822 m²		 N 80.362515°
W 29.739990°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3484 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417373657226562 y=0.106338500976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417373657226562 × 215)
    floor (0.417373657226562 × 32768)
    floor (13676.5)     		tx = 13676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106338500976562 × 215)
    floor (0.106338500976562 × 32768)
    floor (3484.5)     		ty = 3484
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13676 / 3484 ti = "15/13676/3484"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13676/3484.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13676 ÷ 215
    13676 ÷ 32768     		x = 0.4173583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3484 ÷ 215
    3484 ÷ 32768     		y = 0.1063232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4173583984375 × 2 - 1) × π
    -0.165283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51925250
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1063232421875 × 2 - 1) × π
    0.787353515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.4735440203949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51925250} λ = -0.51925250}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4735440203949))-π/2
    2×atan(11.8644201776355)-π/2
    2×1.48670945143028-π/2
    2.97341890286057-1.57079632675     		φ = 1.40262258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51925250} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.750977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40262258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.364354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13676 KachelY 3484 -0.51925250 1.40262258 -29.750977 80.364354
    Oben rechts KachelX + 1 13677 KachelY 3484 -0.51906075 1.40262258 -29.739990 80.364354
    Unten links KachelX 13676 KachelY + 1 3485 -0.51925250 1.40259048 -29.750977 80.362515
    Unten rechts KachelX + 1 13677 KachelY + 1 3485 -0.51906075 1.40259048 -29.739990 80.362515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40262258-1.40259048) × R
    3.21000000000904e-05 × 6371000     		dl = 204.509100000576m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40262258-1.40259048) × R
    3.21000000000904e-05 × 6371000     		dr = 204.509100000576m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51925250--0.51906075) × cos(1.40262258) × R
    0.000191750000000046 × 0.167382140599574 × 6371000     		do = 204.480592705507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51925250--0.51906075) × cos(1.40259048) × R
    0.000191750000000046 × 0.167413787649517 × 6371000     		du = 204.519253983865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40262258)-sin(1.40259048))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167382140599574-0.167413787649517)×R²
    abs(-0.51906075--0.51925250)×3.1647049943323e-05×R²
    0.000191750000000046×3.1647049943323e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.1647049943323e-05×40589641000000     		ar = 41822.0952763848m²