Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13674 / 3768
↖ ↑ ↗
← N 79.827836°
W 29.772949°		 ← 215.75 m → N 79.827836°
W 29.761963°		 →
↑
215.72 m
↓
↑
215.72 m
↓
N 79.825896°
W 29.772949°		 ← 215.79 m →
46 546 m²		 N 79.825896°
W 29.761963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417312622070312 y=0.115005493164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417312622070312 × 215)
    floor (0.417312622070312 × 32768)
    floor (13674.5)     		tx = 13674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115005493164062 × 215)
    floor (0.115005493164062 × 32768)
    floor (3768.5)     		ty = 3768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13674 / 3768 ti = "15/13674/3768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13674/3768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13674 ÷ 215
    13674 ÷ 32768     		x = 0.41729736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3768 ÷ 215
    3768 ÷ 32768     		y = 0.114990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41729736328125 × 2 - 1) × π
    -0.1654052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51963599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114990234375 × 2 - 1) × π
    0.77001953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.41908770242651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51963599} λ = -0.51963599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41908770242651))-π/2
    2×atan(11.2356044231848)-π/2
    2×1.4820274503071-π/2
    2.9640549006142-1.57079632675     		φ = 1.39325857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51963599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.772949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39325857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.827836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13674 KachelY 3768 -0.51963599 1.39325857 -29.772949 79.827836
    Oben rechts KachelX + 1 13675 KachelY 3768 -0.51944424 1.39325857 -29.761963 79.827836
    Unten links KachelX 13674 KachelY + 1 3769 -0.51963599 1.39322471 -29.772949 79.825896
    Unten rechts KachelX + 1 13675 KachelY + 1 3769 -0.51944424 1.39322471 -29.761963 79.825896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39325857-1.39322471) × R
    3.38600000000522e-05 × 6371000     		dl = 215.722060000332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39325857-1.39322471) × R
    3.38600000000522e-05 × 6371000     		dr = 215.722060000332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51963599--0.51944424) × cos(1.39325857) × R
    0.000191750000000046 × 0.17660657073033 × 6371000     		do = 215.749518612124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51963599--0.51944424) × cos(1.39322471) × R
    0.000191750000000046 × 0.176639898401498 × 6371000     		du = 215.790233003335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39325857)-sin(1.39322471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17660657073033-0.176639898401498)×R²
    abs(-0.51944424--0.51963599)×3.33276711684538e-05×R²
    0.000191750000000046×3.33276711684538e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.33276711684538e-05×40589641000000     		ar = 46546.3221001783m²