Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 13674 / 3420
↖ ↑ ↗
← N 80.481335°
W 29.772949°		 ← 202.02 m → N 80.481335°
W 29.761963°		 →
↑
202.09 m
↓
↑
202.09 m
↓
N 80.479518°
W 29.772949°		 ← 202.06 m →
40 830 m²		 N 80.479518°
W 29.761963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417312622070312 y=0.104385375976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417312622070312 × 215)
    floor (0.417312622070312 × 32768)
    floor (13674.5)     		tx = 13674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104385375976562 × 215)
    floor (0.104385375976562 × 32768)
    floor (3420.5)     		ty = 3420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13674 / 3420 ti = "15/13674/3420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13674/3420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13674 ÷ 215
    13674 ÷ 32768     		x = 0.41729736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3420 ÷ 215
    3420 ÷ 32768     		y = 0.1043701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41729736328125 × 2 - 1) × π
    -0.1654052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51963599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1043701171875 × 2 - 1) × π
    0.791259765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.48581586669763
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51963599} λ = -0.51963599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48581586669763))-π/2
    2×atan(12.0109155644715)-π/2
    2×1.48773030671817-π/2
    2.97546061343634-1.57079632675     		φ = 1.40466429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51963599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.772949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40466429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.481335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13674 KachelY 3420 -0.51963599 1.40466429 -29.772949 80.481335
    Oben rechts KachelX + 1 13675 KachelY 3420 -0.51944424 1.40466429 -29.761963 80.481335
    Unten links KachelX 13674 KachelY + 1 3421 -0.51963599 1.40463257 -29.772949 80.479518
    Unten rechts KachelX + 1 13675 KachelY + 1 3421 -0.51944424 1.40463257 -29.761963 80.479518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40466429-1.40463257) × R
    3.17199999999573e-05 × 6371000     		dl = 202.088119999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40466429-1.40463257) × R
    3.17199999999573e-05 × 6371000     		dr = 202.088119999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51963599--0.51944424) × cos(1.40466429) × R
    0.000191750000000046 × 0.165368887380123 × 6371000     		do = 202.021123552437m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51963599--0.51944424) × cos(1.40463257) × R
    0.000191750000000046 × 0.165400170569102 × 6371000     		du = 202.059340323958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40466429)-sin(1.40463257))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165368887380123-0.165400170569102)×R²
    abs(-0.51944424--0.51963599)×3.12831889785203e-05×R²
    0.000191750000000046×3.12831889785203e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.12831889785203e-05×40589641000000     		ar = 40829.9306399419m²