Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13674 / 3007
↖ ↑ ↗
← N 81.203100°
W 29.772949°		 ← 186.83 m → N 81.203100°
W 29.761963°		 →
↑
186.86 m
↓
↑
186.86 m
↓
N 81.201420°
W 29.772949°		 ← 186.86 m →
34 914 m²		 N 81.201420°
W 29.761963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417312622070312 y=0.0917816162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417312622070312 × 215)
    floor (0.417312622070312 × 32768)
    floor (13674.5)     		tx = 13674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0917816162109375 × 215)
    floor (0.0917816162109375 × 32768)
    floor (3007.5)     		ty = 3007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13674 / 3007 ti = "15/13674/3007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13674/3007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13674 ÷ 215
    13674 ÷ 32768     		x = 0.41729736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3007 ÷ 215
    3007 ÷ 32768     		y = 0.091766357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41729736328125 × 2 - 1) × π
    -0.1654052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51963599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.091766357421875 × 2 - 1) × π
    0.81646728515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.56500762486996
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51963599} λ = -0.51963599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56500762486996))-π/2
    2×atan(13.0007574983781)-π/2
    2×1.49402889113983-π/2
    2.98805778227967-1.57079632675     		φ = 1.41726146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51963599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.772949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41726146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.203100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13674 KachelY 3007 -0.51963599 1.41726146 -29.772949 81.203100
    Oben rechts KachelX + 1 13675 KachelY 3007 -0.51944424 1.41726146 -29.761963 81.203100
    Unten links KachelX 13674 KachelY + 1 3008 -0.51963599 1.41723213 -29.772949 81.201420
    Unten rechts KachelX + 1 13675 KachelY + 1 3008 -0.51944424 1.41723213 -29.761963 81.201420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41726146-1.41723213) × R
    2.93300000000496e-05 × 6371000     		dl = 186.861430000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41726146-1.41723213) × R
    2.93300000000496e-05 × 6371000     		dr = 186.861430000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51963599--0.51944424) × cos(1.41726146) × R
    0.000191750000000046 × 0.152932365610964 × 6371000     		do = 186.828180425749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51963599--0.51944424) × cos(1.41723213) × R
    0.000191750000000046 × 0.152961350526349 × 6371000     		du = 186.863589536041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41726146)-sin(1.41723213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152932365610964-0.152961350526349)×R²
    abs(-0.51944424--0.51963599)×2.8984915385194e-05×R²
    0.000191750000000046×2.8984915385194e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.8984915385194e-05×40589641000000     		ar = 34914.2892598225m²