Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13672 / 3496
↖ ↑ ↗
← N 80.342262°
W 29.794922°		 ← 204.94 m → N 80.342262°
W 29.783936°		 →
↑
204.96 m
↓
↑
204.96 m
↓
N 80.340419°
W 29.794922°		 ← 204.98 m →
42 008 m²		 N 80.340419°
W 29.783936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417251586914062 y=0.106704711914062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417251586914062 × 215)
    floor (0.417251586914062 × 32768)
    floor (13672.5)     		tx = 13672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106704711914062 × 215)
    floor (0.106704711914062 × 32768)
    floor (3496.5)     		ty = 3496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13672 / 3496 ti = "15/13672/3496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13672/3496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13672 ÷ 215
    13672 ÷ 32768     		x = 0.417236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3496 ÷ 215
    3496 ÷ 32768     		y = 0.106689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417236328125 × 2 - 1) × π
    -0.16552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52001949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106689453125 × 2 - 1) × π
    0.78662109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47124304921313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52001949} λ = -0.52001949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47124304921313))-π/2
    2×atan(11.8371518725415)-π/2
    2×1.48651666210014-π/2
    2.97303332420028-1.57079632675     		φ = 1.40223700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52001949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.794922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40223700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.342262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13672 KachelY 3496 -0.52001949 1.40223700 -29.794922 80.342262
    Oben rechts KachelX + 1 13673 KachelY 3496 -0.51982774 1.40223700 -29.783936 80.342262
    Unten links KachelX 13672 KachelY + 1 3497 -0.52001949 1.40220483 -29.794922 80.340419
    Unten rechts KachelX + 1 13673 KachelY + 1 3497 -0.51982774 1.40220483 -29.783936 80.340419
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40223700-1.40220483) × R
    3.2169999999887e-05 × 6371000     		dl = 204.95506999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40223700-1.40220483) × R
    3.2169999999887e-05 × 6371000     		dr = 204.95506999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52001949--0.51982774) × cos(1.40223700) × R
    0.000191750000000046 × 0.167762268420854 × 6371000     		do = 204.944971772m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52001949--0.51982774) × cos(1.40220483) × R
    0.000191750000000046 × 0.167793982404087 × 6371000     		du = 204.983714818691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40223700)-sin(1.40220483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167762268420854-0.167793982404087)×R²
    abs(-0.51982774--0.52001949)×3.17139832325397e-05×R²
    0.000191750000000046×3.17139832325397e-05×6371000²
    0.000191750000000046×3.17139832325397e-05×40589641000000     		ar = 42008.4813313038m²