Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 13672 / 3174
↖ ↑ ↗
← N 80.918027°
W 29.794922°		 ← 192.83 m → N 80.918027°
W 29.783936°		 →
↑
192.85 m
↓
↑
192.85 m
↓
N 80.916292°
W 29.794922°		 ← 192.87 m →
37 191 m²		 N 80.916292°
W 29.783936°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 13672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3174 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.417251586914062 y=0.0968780517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.417251586914062 × 215)
    floor (0.417251586914062 × 32768)
    floor (13672.5)     		tx = 13672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0968780517578125 × 215)
    floor (0.0968780517578125 × 32768)
    floor (3174.5)     		ty = 3174
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 13672 / 3174 ti = "15/13672/3174"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/13672/3174.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 13672 ÷ 215
    13672 ÷ 32768     		x = 0.417236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3174 ÷ 215
    3174 ÷ 32768     		y = 0.09686279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.417236328125 × 2 - 1) × π
    -0.16552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.52001949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09686279296875 × 2 - 1) × π
    0.8062744140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.53298577592377
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.52001949} λ = -0.52001949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53298577592377))-π/2
    2×atan(12.5910441051441)-π/2
    2×1.49154115777092-π/2
    2.98308231554184-1.57079632675     		φ = 1.41228599
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.52001949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.794922°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41228599 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.918027°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 13672 KachelY 3174 -0.52001949 1.41228599 -29.794922 80.918027
    Oben rechts KachelX + 1 13673 KachelY 3174 -0.51982774 1.41228599 -29.783936 80.918027
    Unten links KachelX 13672 KachelY + 1 3175 -0.52001949 1.41225572 -29.794922 80.916292
    Unten rechts KachelX + 1 13673 KachelY + 1 3175 -0.51982774 1.41225572 -29.783936 80.916292
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41228599-1.41225572) × R
    3.02699999998879e-05 × 6371000     		dl = 192.850169999286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41228599-1.41225572) × R
    3.02699999998879e-05 × 6371000     		dr = 192.850169999286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.52001949--0.51982774) × cos(1.41228599) × R
    0.000191750000000046 × 0.157847394227839 × 6371000     		do = 192.832572298998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.52001949--0.51982774) × cos(1.41225572) × R
    0.000191750000000046 × 0.15787728467622 × 6371000     		du = 192.869087643941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41228599)-sin(1.41225572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157847394227839-0.15787728467622)×R²
    abs(-0.51982774--0.52001949)×2.98904483810869e-05×R²
    0.000191750000000046×2.98904483810869e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.98904483810869e-05×40589641000000     		ar = 37191.3153477402m²